【題目】如圖所示,正方形AA1D1D與矩形ABCD所在平面互相垂直,AB=2AD=2,點E為AB的中點.
(1)求證:BD1∥平面A1DE;
(2)求直線A1E與平面AD1E所成角.
【答案】
(1)證明:連接AD1交A1D于點F,連EF.
∵四邊形AA1D1D是正方形,
∴F是AD1的中點,
又∵E為AB的中點,
∴EF∥BD1,
又∵EF平面A1DE,BD1平面A1DE.
∴BD1∥平面A1DE.
(2)解:∵四邊形ABCD是矩形,
∴AE⊥AD.
又∵平面AA1D1D⊥平面ABCD,平面AA1D1D∩平面ABCD=AD,AE平面ABCD,
∴AE⊥平面AA1D1D,又A1D平面AA1D1D,
∴AE⊥A1D.
∵四邊形ADD1A1是正方形,
∴AD1⊥A1D,
又∵AE平面AD1E,AD1平面AD1E,AE∩AD1=A,
∴A1D⊥平面AD1E,
∴∠A1EF是直線A1E與平面AD1E所成角.
∵AA1=AE=1,
∴
∵正方形AA1D1D的邊長為1,
∴
∴ ,
∴ .
即直線A1E與平面AD1E所成角為 .
【解析】(1)連接AD1交A1D于點F,連EF,利用中位線定理可得BD1∥EF,故BD1∥平面A1DE;(2)證明A1D⊥平面AD1E,故而∠A1EF為直線A1E與平面AD1E所成角,于是sin∠A1EF= .
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件,利用直線與平面平行的判定和空間角的異面直線所成的角的相關(guān)知識可以得到問題的答案,需要掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡記為:線線平行,則線面平行;已知為兩異面直線,A,C與B,D分別是上的任意兩點,所成的角為,則.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】【2017重慶二診】已知橢圓: 的左頂點為,右焦點為,過點且斜率為1的直線交橢圓于另一點,交軸于點, .
(1)求橢圓的方程;
(2)過點作直線與橢圓交于兩點,連接(為坐標(biāo)原點)并延長交橢圓于點,求面積的最大值及取最大值時直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為備戰(zhàn)年瑞典乒乓球世界錦標(biāo)賽,乒乓球隊舉行公開選撥賽,甲、乙、丙三名選手入圍最終單打比賽名單.現(xiàn)甲、乙、丙三人進(jìn)行隊內(nèi)單打?qū)贡荣,每兩人比賽一場,共賽三?/span>,每場比賽勝者得分,負(fù)者得分,在每一場比賽中,甲勝乙的概率為,丙勝甲的概率為,乙勝丙的概率為,且各場比賽結(jié)果互不影響.若甲獲第一名且乙獲第三名的概率為.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)設(shè)在該次對抗比賽中,丙得分為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本小題滿分16分)
在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C:(a>b>0)的上頂點到焦點的距離為2,離心率為.
(1)求a,b的值.
(2)設(shè)P是橢圓C長軸上的一個動點,過點P作斜率為k的直線l交橢圓C于A、B兩點.
(ⅰ)若k=1,求△OAB面積的最大值;
(ⅱ)若PA2+PB2的值與點P的位置無關(guān),求k的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本小題滿分14分)
如圖,2015年春節(jié),攝影愛好者在某公園處,發(fā)現(xiàn)正前方處有一立柱,測得立柱頂端的仰角和立柱底部的俯角均為,已知的身高約為米(將眼睛距地面的距離按米處理)
(1)求攝影者到立柱的水平距離和立柱的高度;
(2)立柱的頂端有一長2米的彩桿繞中點在與立柱所在的平面內(nèi)旋轉(zhuǎn).攝影者有一視角范圍為的鏡頭,在彩桿轉(zhuǎn)動的任意時刻,攝影者是否都可以將彩桿全部攝入畫面?說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的一系列對應(yīng)值如表:
x | ﹣ | ||||||
y | ﹣1 | 1 | 3 | 1 | ﹣1 | 1 | 3 |
(1)根據(jù)表格提供的數(shù)據(jù)求函數(shù)f(x)的一個解析式;
(2)根據(jù)(1)的結(jié)果:
( i)當(dāng)x∈[0, ]時,方程f(3x)=m恰有兩個不同的解,求實數(shù)m的取值范圍;
( ii)若α,β是銳角三角形的兩個內(nèi)角,試比較f(sinα)與f(cosβ)的大小.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某媒體對“男女延遲退休”這一公眾關(guān)注的問題進(jìn)行了民意調(diào)查,如表是在某單位得到的數(shù)據(jù)(人數(shù)):
(1)能否有90%以上的把握認(rèn)為對這一問題的看法與性別有關(guān)?
贊同 | 反對 | 合計 | |
男 | 5 | 6 | 11 |
女 | 11 | 3 | 14 |
合計 | 16 | 9 | 25 |
(2)從贊同“男女延遲退休”16人中選出3人進(jìn)行陳 述發(fā)言,求事件“男士和女士各至少有1人發(fā)言”的概率;
(3)若以這25人的樣本數(shù)據(jù)來估計整個地區(qū)的總體數(shù)據(jù),現(xiàn)從該地區(qū)(人數(shù)很多)任選5人,記贊同“男女延遲退休”的人數(shù)為X,求X的數(shù)學(xué)期望.
附:
p(K2≥k) | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
K2= .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= ﹣2ax+1+lnx
(1)當(dāng)a=0時,若函數(shù)f(x)在其圖象上任意一點A處的切線斜率為k,求k的最小值,并求此時的切線方程;
(2)若函數(shù)f(x)的極大值點為x1 , 證明:x1lnx1﹣ax12>﹣1.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,角A、B、C的對邊分別為a,b,c,且滿足(2a﹣c)cosB=bcosC
(1)求角B的大。
(2)若b= ,a+c=4,求△ABC的面積S.
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