Question

已知雙曲線

x2

25

-

y2

24

=1上一點(diǎn)M到右焦點(diǎn)F的距離為11，N為線段MF的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則|ON|=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由雙曲線

x2

25

-

y2

24

=1可得a=5，c=

25+24

=7．由于雙曲線上一點(diǎn)M到右焦點(diǎn)F的距離為11＜a+c=12，可得點(diǎn)M必在雙曲線的右支上．再利用雙曲線的定義和三角形的中位線定理即可得出．

解答： 解：由雙曲線

x2

25

-

y2

24

=1可得a=5，c=

25+24

=7．
∵雙曲線上一點(diǎn)M到右焦點(diǎn)F的距離為11＜a+c=12，
∴點(diǎn)M必在雙曲線的右支上．
設(shè)F′為雙曲線的左焦點(diǎn)，
則|MF′|-|MF|=2a=10，∴|MF′|=21．
∵N為線段MF的中點(diǎn)，O為FF′的中點(diǎn)．
∴|ON|=

1

2

|MF′|=

21

2

．
故答案為：

21

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了雙曲線的定義標(biāo)準(zhǔn)方程、三角形的中位線定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．