Question

18．已知雙曲線M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1（a＞0，b＞0）$兩個焦點為分別為${F_1}（-\sqrt{3}，0），{F_2}（\sqrt{3}，0）$，過點F₂的直線l與該雙曲線的右支交于M、N兩點，且△F₁MN是等邊三角形，則以點F₂為圓心，與雙曲線M的漸近線相切的圓的方程為（　�。�

• A． ${（x-\sqrt{3}）^2}+{y^2}=2$
• B． ${（x-\sqrt{3}）^2}+{y^2}=4$
• C． ${（x-\sqrt{3}）^2}+{y^2}=1$
• D． ${（x-\sqrt{3}）^2}+{y^2}=\frac{3}{5}$

Answer 1

分析 根據(jù)題中所給條件可知M，N關(guān)于x軸對稱，|NF₂|=$\frac{^{2}}{a}$，根據(jù)△MNF₁為正三角形，可得$\frac{^{4}}{{a}^{2}}$+4c²=$\frac{4^{4}}{{a}^{2}}$，由此可以求出a，即可求出以點F₂為圓心，與雙曲線M的漸近線相切的圓的方程．

解答 解：由題意可知，M，N關(guān)于x軸對稱，則|NF₂|=$\frac{^{2}}{a}$，
∵|F₁F₂|=2c，
∴|NF₁|²=$\frac{^{4}}{{a}^{2}}+4{c}^{2}$=|MN|²=$\frac{4^{4}}{{a}^{2}}$，
∴$\frac{^{4}}{{a}^{2}}$+4c²=$\frac{4^{4}}{{a}^{2}}$
∴4a²c²=3b⁴
∴4a²c²=3（a²-c²）²，
∵c=$\sqrt{3}$，
∴a=1或3（舍去），
∴雙曲線的漸近線方程為y=±$\sqrt{2}$x，
∴焦點F₂到漸近線的距離為$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}}$=$\sqrt{2}$，
∴以點F₂為圓心，與雙曲線M的漸近線相切的圓的方程為$（x-\sqrt{3}）^{2}+{y}^{2}$=2，
故選：A．

點評 本題以雙曲線為載體，考查雙曲線的方程與性質(zhì)，考查圓的方程，關(guān)鍵是找出幾何量之間的關(guān)系，求出a．