Question

如圖所示，過圓O：x²+y²=4與y軸正半軸的交點(diǎn)A作圓的切線l，M為l上任意一點(diǎn)，再過M作圓的另一切線，切點(diǎn)為Q，當(dāng)點(diǎn)M在直線l上移動(dòng)時(shí)，求三角形MAQ的垂心的軌跡方程．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)（m，2）（m≠0），由于MA，MQ是過M點(diǎn)的圓的兩條切線，求出切點(diǎn)弦AQ的方程mx+2y=4，將其與圓的方程聯(lián)立，可以得到Q點(diǎn)坐標(biāo)，由于AM垂直于y軸，于是垂線BQ就垂直于x軸，因此B、Q橫坐標(biāo)相同．又MA、MQ是圓的兩條切線，于是MA=MQ，因此可知MH過AQ中點(diǎn)，而由圓的對(duì)稱性可知，MO也過AQ的中點(diǎn)，于是可知M、H、O三點(diǎn)共線．又直線OM的斜率知道了，B點(diǎn)的橫坐標(biāo)知道了，于是H點(diǎn)的縱坐標(biāo)也出來了，則垂心H的軌跡可求．

解答： 解：由題意設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)（m，2）（m≠0），則以MO為直徑的圓的方程為(x-

m

2

)2+(y-1)2=

1

4

(m2+4)，
又圓O的方程為x²+y²=4，兩式作差得：mx+2y=4．
聯(lián)立

mx+2y=4 x2+y2=4

，解得

x= 8m m2+4 y= 8-2m2 m2+4

或

x=0 y=2

．
則點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為

8m

m2+4

．
由于AM垂直于y軸，于是垂線BQ就垂直于x軸，因此B、Q橫坐標(biāo)相同．
又MA、MQ是圓的兩條切線，于是MA=MQ，因此可知MH（H為三角形MAQ的垂心）過AQ中點(diǎn)，
而由圓的對(duì)稱性可知，MO也過AQ的中點(diǎn)，于是可知M、H、O三點(diǎn)共線．
由直線MO的方程為y=

2

m

x，
代入Q點(diǎn)橫坐標(biāo)得H點(diǎn)的縱坐標(biāo)為y=

16

m2+4

．
∴三角形MAQ的垂心的軌跡方程為

x= 8m m2+4 y= 16 m2+4

．
消掉m得：x²+y²-4y=0 （x≠0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程的求法，訓(xùn)練了參數(shù)法求曲線的軌跡，解答此題的關(guān)鍵是求出過切點(diǎn)的弦的方程，是中檔題．