Question

12．當(dāng)x→1時(shí)，k（1-x²）與1-$\root{3}{x}$是等價(jià)無窮小，其中的常數(shù)k應(yīng)如何選擇？

Answer 1

分析 先根據(jù)k（1-x²）與1-$\root{3}{x}$是等價(jià)無窮小得出：$\underset{lim}{x→1}$$\frac{k（1-x^2）}{1-\root{3}{x}}$=1，再對(duì)該式求極限，進(jìn)而求出k的值．

解答 解：∵x→1時(shí)，k（1-x²）與1-$\root{3}{x}$是等價(jià)無窮小，
∴$\underset{lim}{x→1}$$\frac{k（1-x^2）}{1-\root{3}{x}}$=1，其中，
分子=k（1-x²）=k（1-x）（1+x），
分母=1-$\root{3}{x}$=$\frac{1-x}{1+\root{3}{x}+\root{3}{x^2}}$，
因此，$\underset{lim}{x→1}$$\frac{k（1-x^2）}{1-\root{3}{x}}$=$\underset{lim}{x→1}$[k（1+x）（1+$\root{3}{x}$+$\root{3}{x^2}$）]=6k=1，
解得k=$\frac{1}{6}$，
故當(dāng)k=$\frac{1}{6}$，x→1時(shí)，k（1-x²）與1-$\root{3}{x}$是等價(jià)無窮�。�

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了運(yùn)用極限判斷兩個(gè)量的“等價(jià)無窮小”，用到因式分解，消除零因子，屬于中檔題．