Question

【題目】已知函數(shù)f(x)＝ (a∈R)．

(Ⅰ)求f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值；

(Ⅱ)若函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)g(x)＝1的圖象在區(qū)間(0，e2]上有兩個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)見解析(Ⅱ)(1，e2－2].

【解析】試題分析：（1）f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f′(x)＝.由f′(x)＝0，

得x＝e1－a，可求得單調(diào)區(qū)間與極值。（2）由于f(x)=1在區(qū)間(0，e2]上有兩上零點(diǎn)，所以要考慮x＝e1－a是否在區(qū)間(0，e2]上進(jìn)行分類討論。

試題解析：(Ⅰ)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f′(x)＝.

令f′(x)＝0，得x＝e1－a，

當(dāng)x∈(0，e1－a)時(shí)，f′(x)>0，f(x)是增函數(shù)；

當(dāng)x∈(e1－a，＋∞)時(shí)，f′(x)<0，f(x)是減函數(shù)，

所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0，e1－a)；單調(diào)減區(qū)間為(e1－a，＋∞)，f(x)極大值＝f(e1－a)＝ea－1，無極小值.

(Ⅱ)(ⅰ)當(dāng)e1－a<e2，即a>－1時(shí)，由(Ⅰ)知f(x)在區(qū)間(0，e1－a)上是增函數(shù)，

在區(qū)間(e1－a，e2]上是減函數(shù)，f(x)max＝f(e1－a)＝ea－1.

又f(e－a)＝0，f(e2)＝，所以函數(shù)f(x)的圖象與g(x)＝1的圖象在(0，e2]上有兩個(gè)公共點(diǎn)，等價(jià)于≤1＜ea－1，解得1＜a≤e2－2(滿足a>－1)．

(ⅱ)當(dāng)e1－a≥e2，即a≤－1時(shí)，f(x)在(0，e2]上是增函數(shù)，

所以函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)g(x)的圖象至多有一個(gè)公共點(diǎn)，故不滿足題意．

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1，e2－2].