Question

【題目】已知函數(shù)f(x)＝ln x＋ax－＋b.

(1)若函數(shù)g(x)＝f(x)＋為減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)若f(x)≤0恒成立，證明：a≤1－b.

Answer 1

【答案】(1) ；(2)證明見解析.

【解析】試題分析：

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)，分參數(shù)，求解的范圍即可；

（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令，通過討論的范圍，令，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到，從而證出結(jié)論即可.

試題解析：

(1)解　g(x)＝f(x)＋＝ln x＋ax＋＋b，x>0.

對g(x)求導(dǎo)可得g′(x)＝＋a－，x>0.

要使g(x)在(0，＋∞)為減函數(shù)，則有g′(x)≤0在(0，＋∞)上恒成立，即a≤－＝－，

所以a≤－，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

(2)證明　f′(x)＝＋＋a＝(x>0)，

令y＝ax2＋x＋1，

當(dāng)a≥0時，f′(x)>0，函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，不滿足f(x)≤0恒成立；

當(dāng)a<0時，Δ＝1－4a>0，當(dāng)ax2＋x＋1＝0，得x＝>0或x＝<0，

設(shè)x0＝，函數(shù)f(x)在(0，x0)上單調(diào)遞增；在(x0，＋∞)上單調(diào)遞減.

又f(x)≤0恒成立，所以f(x0)≤0，即ln x0＋ax0－＋b≤0.

由上式可得b≤－ax0－ln x0，由ax＋x0＋1＝0，得a＝－，

所以a＋b≤－ax0－ln x0－＝－ln x0＋－＋1.

令t＝，t>0，h(t)＝ln t＋t－t2＋1，

h′(t)＝＝，

當(dāng)0<t<1時，h′(t)>0，函數(shù)h(t)在(0，1)上單調(diào)遞增，

當(dāng)t≥1時，h′(t)≤0，函數(shù)h(t)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，h(t)≤h(1)＝1.

故a＋b≤1，即a≤1－b.