Question

【題目】如圖所示，在四棱錐S-ABCD中，四邊形ABCD是菱形，，，點P，Q，M分別是線段SD，PD，AP的中點，點N是線段SB上靠近B的四等分點．

（1）若R在直線MQ上，求證：平面ABCD；

（2）若平面ABCD，求平面SAD與平面SBC所成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）利用面面平行的判定定理、面面平行的性質(zhì)定理即可證出.

（2）以D為坐標原點，建立空間直角坐標系，不妨設(shè)，求出平面SBC的一個法向量與平面SAD的一個法向量，利用向量的數(shù)量積即可求解.

（1）依題意，，故，

而平面ABCD，平面ABCD，故平面ABCD；

因為，故，

而平面ABCD，平面ABCD，故平面ABCD；

因為，故平面平面ABCD；

因為平面QMN，故平面ABCD；

（2）如圖，

以D為坐標原點，建立如圖所示空間直角坐標系，不妨設(shè)，

則，，，，

∴，，

設(shè)平面SBC的一個法向量為，則，

取，可得，

易知平面SAD的一個法向量，

設(shè)平面SAD與平面SBC所成銳二面角為，則，

∴平面SAD與平面SBC所成銳二面角的余弦值為.