Question

已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f（x）=x²，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x+1）=f（x）+f（1），若直線y=kx與函數(shù)y=f（x）的圖象恰有3個(gè)不同的公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：求出函數(shù)在x∈[1，2]的函數(shù)的解析式，通過函數(shù)的奇偶性，求出函數(shù)在x∈[1，2]相切，求出切線的斜率即可求出實(shí)數(shù)k的最大值．

解答： 解：當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f（x）=x²，
∴f（1）=1，
∵當(dāng)x＞0時(shí)，f（x+1）=f（x）+f（1），
∴當(dāng)1≤x≤2時(shí)，f（x）=f（x-1）+f（1）=（x-1）²+1，
∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，直線y=kx與函數(shù)y=f（x）的圖象恰有3個(gè)不同的公共點(diǎn)，
∴x＞0時(shí)，兩個(gè)函數(shù)的圖象，只有2個(gè)交點(diǎn)，如圖：
設(shè)切點(diǎn)為（a，f（a））．
f′（x）=2x-2．
則：

a2-2a+2

a

=2a-2，解得a=

2

．
∴k=2

2

-2．
∴當(dāng)0＜k＜2

2

-2．
此時(shí)有1個(gè)交點(diǎn)，x＜0時(shí)，也有1個(gè)交點(diǎn)，x=0也是交點(diǎn)，
∴直線y=kx與函數(shù)y=f（x）的圖象恰有3個(gè)不同的公共點(diǎn)，實(shí)數(shù)k的取值范圍為：0＜k＜2

2

-2
故答案為：0＜k＜2

2

-2

點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，著重考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，考查函數(shù)的對(duì)稱性、周期性、奇偶性的綜合應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想與作圖能力，屬于難題．