Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，上頂點(diǎn)A，△AF₁F₂為正三角形，以線段F₁F₂為直徑的圓與直線y═

3

x-4相切．

（1）求橢圓C的方程和離心率．

（2）若點(diǎn)P為焦點(diǎn)F₁關(guān)于直線x=-

5

2

的對(duì)稱點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M滿足

|MF1|

|MF2|

=e，問是否存在一定點(diǎn)T，使得動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)T的距離為定值？若存在，求出定點(diǎn)T的坐標(biāo)及此定值，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出c=d=

|-4|

3+1

=2，a=2c=4，由此能求出橢圓C的方程和離心率．
（2）由已知條件推導(dǎo)出P（-3，0），設(shè)M（x，y），由推導(dǎo)出

(x+2)2+y2

(x+3)2+y2

=

1

2

，由此能求出定點(diǎn)T的坐標(biāo)和定值．

解答： 解：（1）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，上頂點(diǎn)A，
以線段F₁F₂為直徑的圓與直線y=

3

x-4相切，
∴c=d=

|-4|

3+1

=2
∵△AF₁F₂為正三角形，
∴a=2c=4，∴b²=4²-2²=12，
∴橢圓C的方程為

x2

16

+

y2

12

=1，
離心率e=

c

a

=

1

2

．
（2）∵點(diǎn)P為焦點(diǎn)F₁（-2，0）關(guān)于直線x=-

5

2

的對(duì)稱點(diǎn)，
∴P（-3，0），
設(shè)M（x，y），∵動(dòng)點(diǎn)M滿足

|MF1|

|MF2|

=e=

1

2

，
∴

(x+2)2+y2

(x+3)2+y2

=

1

2

，整理，得（x+

5

3

）²+y²=

4

9

，
∴定點(diǎn)T的坐標(biāo)為（-

5

3

，0），
使得動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)T的距離為定值

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程和離心率的求法，考查滿足條件的點(diǎn)的判斷，解題時(shí)要注意數(shù)形結(jié)合思想的合理運(yùn)用．