Question

三棱錐O-ABC中，OA，OB，OC兩兩垂直且相等，點(diǎn)P，Q分別是線段BC和OA上移動(dòng)，且滿(mǎn)足BP≤

1

2

BC，AQ≤

1

2

AO，則PQ和OB所成角余弦值的取值范圍是（　　）

• A、[

  3

  3

  ，

  2 5

  5

  ]
• B、[

  3

  3

  ，

  2

  2

  ]
• C、[

  6

  6

  ，

  2 5

  5

  ]
• D、[

  6

  6

  ，

  2

  2

  ]

Answer 1

考點(diǎn)：異面直線及其所成的角

專(zhuān)題：空間角

分析：如圖所示，不妨取OA=2．則B（0，2，0），C（0，0，2）．設(shè)P（0，y，z），

BP

=λ

BC

，(0≤λ≤

1

2

)．可得P（0，2-2λ，2λ）．設(shè)Q（m，0，0），(

1

2

≤m≤1)．可得cos＜

PQ

，

OB

＞=

PQ • OB

| PQ | | OB|

=

1-λ

m2+(1-λ)2+λ2

．對(duì)λ，m分類(lèi)討論即可得出．

解答： 解：如圖所示，不妨取OA=2．則B（0，2，0），C（0，0，2）．
設(shè)P（0，y，z），

BP

=λ

BC

，(0≤λ≤

1

2

)．
則（0，y-2，z）=λ（0，-2，2）=（0，-2λ，2λ），
∴

y-2=-2λ z=2λ

解得y=2-2λ，z=2λ．
∴P（0，2-2λ，2λ）．
設(shè)Q（m，0，0），(

1

2

≤m≤1)．
則

PQ

=（m，2λ-2，-2λ），
又

OB

=（0，2，0），
∴cos＜

PQ

，

OB

＞=

PQ • OB

| PQ | | OB|

=

1-λ

m2+(1-λ)2+λ2

．
①當(dāng)點(diǎn)P取B（0，1，0）時(shí)，取Q(

1

2

，0，0)時(shí)，m=

1

2

，λ=0，則cos＜

PQ

，

OB

＞=

1

( 1 2 )2+1

=

2 5

5

．
取Q（1，0，0）時(shí)，m=1，λ=0，cos＜

PQ

，

OB

＞=

2

2

．
②當(dāng)點(diǎn)P取B（0，

1

2

，

1

2

）時(shí)，取Q(

1

2

，0，0)時(shí)，m=

1

2

，λ=

1

2

，則cos＜

PQ

，

OB

＞=

1 2

( 1 2 )2+( 1 2 )2×2

=

3

3

．
取Q（1，0，0）時(shí)，m=1，λ=

1

2

，cos＜

PQ

，

OB

＞=

1 2

12+( 1 2 )2×2

=

6

6

．
綜上可得：PQ和OB所成角余弦值的取值范圍是[

6

6

，

2 5

5

]．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量的夾角公式、異面直線所成的夾角，考查了分類(lèi)討論、推理能力和空間想象能力，屬于難題．