Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

1

3

mx³+（4+m）x²，g（x）=alnx，其中a≠0．
（1）已知點(diǎn)P（1，0）在y=f（x）的圖象上，求m的值；
（2）當(dāng)a=8時(shí)，設(shè)F（x）=f′（x）+g（x），討論F（x）的單調(diào)性．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由點(diǎn)在圖象上，點(diǎn)的坐標(biāo)適合函數(shù)解析式，代入即可求得m的值；
（2）利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)性判斷原函數(shù)的單調(diào)性，注意要以m進(jìn)行討論．

解答： 解：（1）由題意得f(1)=

1

3

m+(4+m)=0，∴m=-3，
（2）f′（x）=mx²+2（4+m）x，當(dāng)a=8時(shí)，F(xiàn)（x）=mx²+2（4+m）x+8lnx，定義域?yàn)椋?，+∞），
F′(x)=2mx+8+2m+

8

x

=

2mx2+(8+2m)x+8

x

=

2(x+1)(mx+4)

x

，
∵x＞0，∴x+1＞0，
①當(dāng)m≥0時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0，此時(shí)F（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
②當(dāng)m＜0時(shí)，由F′（x）＞0，得0＜x＜-

4

m

，由F′（x）＜0得x＞-

4

x

，
此時(shí)F（x）在（0，-

4

x

）上單調(diào)遞增，在(-

4

m

，+∞)上單調(diào)遞減．
綜上得：
當(dāng)m≥0時(shí)，F(xiàn)（x）在（0，+∞）是上單調(diào)遞增；
當(dāng)m＜0時(shí)，F(xiàn)（x）在（0，-

4

x

）上單調(diào)遞增，在(-

4

m

，+∞)上單調(diào)遞減．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了，導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用，分類(lèi)討論思想，化歸思想．屬于�？碱}型，注意參數(shù)的討論．