在正數(shù)數(shù)列{an}中,Sn為an的前n項和,若點(an,Sn)在函數(shù)y=
c2-x
c-1
的圖象上,其中c為正常數(shù),且c≠1.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)當c=
1
2
的時候,在數(shù)列{an}的兩項之間都按照如下規(guī)則插入一些數(shù)后,構成新數(shù)列{bn}:an和an+1兩項之間插入n個數(shù),使這n+2個數(shù)構成等差數(shù)列,求b2014的值;
(3)設數(shù)列{cn}滿足cn=
n,n=2k-1
2an,n=2k
,k∈N*,當c=
3
3
時候,在數(shù)列{cn}中,是否存在連續(xù)的三項cr,cr+1,cr+2,按原來的順序成等差數(shù)列?若存在,求出所有滿足條件的正整數(shù)r的值;若不存在,說明理由.
考點:數(shù)列的應用
專題:綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析:(1)利用點(an,Sn)在函數(shù)y=
c2-x
c-1
的圖象上,可得Sn=
c2-an
c-1
,
再寫一式,兩式相減,可得數(shù)列{an}為等比數(shù)列,求出a1=c,即可求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)數(shù)列{bn}中an這項是數(shù)列{bn}的第n+(1+2+3+…+n-1)=
n(n+1)
2
項,從而可得b2014是以a62為首項,a63為末項共64項的等差數(shù)列的第62項,即可得出結論;
(3)分類討論,若cr=c2k,不成立;若cr=c2k-1,可得k=3k-1,令Tk=
k
3k-1
,則Tk+1-Tk=
1-2k
3k
<0,即可得出結論.
解答: 解:(1)因為點(an,Sn)在函數(shù)y=
c2-x
c-1
的圖象上,
所以Sn=
c2-an
c-1

n≥2時,an=Sn-Sn-1=
an-1-an
c-1
,
所以
an
an-1
=
1
c
,
所以數(shù)列{an}為等比數(shù)列                                   2分
將(a1,S1)代入y=
c2-x
c-1
得,a1=c                        3分
故an=(
1
c
)n-2
                                            4分
(2)數(shù)列{bn}中an這項是數(shù)列{bn}的第n+(1+2+3+…+n-1)=
n(n+1)
2

n(n+1)
2
=2014,得n=62時,
62(62+1)
2
=1953,1953+62=2015>2014,
所以b2014是以a62為首項,a63為末項共64項的等差數(shù)列的第62項
所以b2014=a62+61×
a63-a62
63
=
31
63
262
                       10分
(3)若cr=c2k,若cr=c2k,則由cr+cr+2=2cr+1,得2•3k-1+2•3k=2(2k+1),
化簡得4•3k-1=2k+1,此式左邊為偶數(shù),右邊為奇數(shù),不可能成立.              12分
若cr=c2k-1,則由cr+cr+2=2cr+1,得(2k-1)+(2k+1)=2•2•3k-1
化簡得k=3k-1.                                                     14分
令Tk=
k
3k-1
,則Tk+1-Tk=
1-2k
3k
<0                 
因此,1=T1>T2>T3>…,
故只有T1=1,此時r=2×1-1=1,
綜上,在數(shù)列{cn}中,僅存在連續(xù)的三項cr,cr+1,cr+2,按原來的順序成等差數(shù)列,此時正整數(shù)r=1   18分.
點評:本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合,考查等比數(shù)列的判斷,考查數(shù)列的通項,考查分類討論的數(shù)學思想,考查學生分析解決問題的能力,有難度.
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3
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π
4
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π
4
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(Ⅱ)若將f(x)的圖象向右平移
π
12
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π
2
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1
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1
4
,
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(Ⅱ)現(xiàn)從盒子中隨機的取出4個球,記所取4個球的號碼中,連續(xù)自然數(shù)的個數(shù)的最大值為隨機變量ξ(如取2468時,ξ=0;取1246或1245時,ξ=2;取1235時,ξ=3)求隨機變量ξ的分布列及均值.

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a
,
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a
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c
•(
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-
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)
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π
6
)=
4
5
,則sin(2α+
π
3
)=
 

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