Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

x³+mx²-3m²x+1（m＞0）．
（1）若m=1，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（2m-1，m+1）上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)m=1時(shí)，求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)得到f′（2），再求得f（2）的值，然后利用直線方程的點(diǎn)斜式得答案；
（2）由導(dǎo)數(shù)求出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，然后對m分類求出函數(shù)f（x）在區(qū)間（2m-1，m+1）上單調(diào)遞增的實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：（1）當(dāng)m=1時(shí)，f（x）=

1

3

x³+x²-3x+1，
f′（x）=x²+2x-3，
∴f′（2）=5．
又f（2）=

5

3

，
∴所求切線方程為y-

5

3

=5（x-2），即15x-3y-25=0．
∴曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程為15x-3y-25=0；
（2）∵f′（x）=x²+2mx-3m²，
令f′（x）=0，得x=-3m或x=m．
當(dāng)m=0時(shí)，f'（x）=x²≥0恒成立，滿足函數(shù)f（x）在區(qū)間（2m-1，m+1）上單調(diào)遞增．
當(dāng)m＞0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，-3m），（m，+∞），
若f（x）在區(qū)間（2m-1，m+1）上單調(diào)遞增，
則

m＞0 2m-1＜m+1 2m-1≥m

，解得1≤m＜2．
當(dāng)m＜0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，m），（-3m，+∞），
若f（x）在區(qū)間（2m-1，m+1）上單調(diào)遞增，
則

m＜0 2m-1＜m+1 m+1＜m

，m∈∅．
綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍是m=0或1≤m＜2．

點(diǎn)評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是壓軸題．