Question

已知函數(shù)f（x）=ax+b

1+x2

（x≥0），f（0）=1，f（

3

）=2-

3

．
（1）求函數(shù)f（x）的表達式及值域；
（2）若函數(shù)f（x）與g（x）的圖象關(guān)于直線y=x對稱，問是否存在實數(shù)m，使得命題p：f（m²-m）＜f（3m-4）和q：g（

m-1

4

）＞

3

4

滿足復(fù)合命題p且q為真命題？若存在，求出實數(shù)m的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：復(fù)合命題的真假

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,簡易邏輯

分析：（1）利用函數(shù)f（x）=ax+b

1+x2

（x≥0），f（0）=1，f（

3

）=2-

3

．代入解得b，a．即可得出f(x)=

1+x2

-x(x≥0)．由于x≥0，即可得出f(x)=

1

1+x2 +x

單調(diào)遞減，因此0＜f（x）≤f（0）=1．即可得出函數(shù)f（x）的值域．
（2）由于函數(shù)f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞減，可得命題p：f（m²-m）＜f（3m-4）為真命題?m²-m＞3m-4，解得m．又f(

3

4

)=

1

2

，故g(

1

2

)=

3

4

，因此命題q：g（

m-1

4

）＞

3

4

為真命題?0＜

m-1

4

＜

1

2

，基礎(chǔ)即可得出．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=ax+b

1+x2

（x≥0），f（0）=1，f（

3

）=2-

3

．
∴b=1，

3

a+b

1+( 3 )2

=2-

3

，解得b=1，a=-1．
∴f(x)=

1+x2

-x(x≥0)．
∵x≥0，∴f(x)=

1

1+x2 +x

單調(diào)遞減，
∴0＜f（x）≤f（0）=1．
因此函數(shù)f（x）的值域為（0，1]．
（2）∵函數(shù)f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞減，
∴命題p：f（m²-m）＜f（3m-4）為真命題?m²-m＞3m-4，解得m≥

4

3

且m≠2．
∵函數(shù)f（x）與g（x）的圖象關(guān)于直線y=x對稱，
又f(

3

4

)=

1

2

，故g(

1

2

)=

3

4

，
因此命題q：g（

m-1

4

）＞

3

4

為真命題?0＜

m-1

4

＜

1

2

?1＜m＜3．
故存在m∈[

4

3

，2)∪(2，3)滿足復(fù)合命題p∧q為真命題．

點評：本題考查了函數(shù)的解析式及其性質(zhì)、復(fù)合命題的真假判斷、互為反函數(shù)的性質(zhì)，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．