【題目】已知四棱錐P—ABCD中,PA⊥平面ABCD,∠DAB=∠ADC=90°,DC=AB,F(xiàn),M分別是線段PC,PB的中點(diǎn).
(1)在線段AB上找出一點(diǎn)N,使得平面CMN∥平面PAD,并給出證明過程;
(2)若PA=AB,DC=AD,求二面角C—AF—D的余弦值.
【答案】(1)見解析; (2).
【解析】
(1)取的中點(diǎn),連接,取的中點(diǎn),連接,然后通過中位線,證明線線平行,進(jìn)而得到線面平行,進(jìn)而得到面面平行.(2)以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系,通過計(jì)算平面和平面的法向量,來(lái)求得面面角的余弦值.
(1)證明:取AB的中點(diǎn)N,連接CN,MN,取PA的中點(diǎn)Q,連接QM,DQ;
在中,MQAB,,而 ,故AB//CD,
故QM//DC,且QM=DC,四邊形CDQM為平行四邊形,CM//DQ,
又平面PAD,平面PAD, 平面PAD;
∵MNPA,平面PAD,PA平面PAD,MN//平面PAD;
因?yàn)?/span>,故平面CMN//平面PAD;
(2)由已知得:兩兩垂直,以所在直線分別為軸,軸,軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè),則,,,
則,,,
所以,.
設(shè)是平面的一個(gè)法向量,則
,令,得.
設(shè)是平面的一個(gè)法向量,則
,令 ,
.
又二面角為銳角,故二面角的余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列命題正確的是( )
A.經(jīng)過任意三點(diǎn)有且只有一個(gè)平面.
B.過點(diǎn)有且僅有一條直線與異面直線垂直.
C.一條直線與一個(gè)平面平行,它就和這個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線平行.
D.面與平面相交,則公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為有限個(gè).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(1)當(dāng)時(shí),方程在區(qū)間內(nèi)有唯一實(shí)數(shù)解,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)對(duì)于區(qū)間上的任意不相等的實(shí)數(shù)、,都有成立,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)(,且)是定義域?yàn)?/span>R的奇函數(shù).
(1)求t的值;
(2)若,求使不等式對(duì)一切恒成立的實(shí)數(shù)k的取值范圍;
(3)若函數(shù)的圖象過點(diǎn),是否存在正數(shù)m(),使函數(shù)在上的最大值為0,若存在,求出m的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某客戶準(zhǔn)備在家中安裝一套凈水系統(tǒng),該系統(tǒng)為二級(jí)過濾,使用壽命為十年如圖所示兩個(gè)二級(jí)過濾器采用并聯(lián)安裝,再與一級(jí)過濾器串聯(lián)安裝.
其中每一級(jí)過濾都由核心部件濾芯來(lái)實(shí)現(xiàn)在使用過程中,一級(jí)濾芯和二級(jí)濾芯都需要不定期更換(每個(gè)濾芯是否需要更換相互獨(dú)立).若客戶在安裝凈水系統(tǒng)的同時(shí)購(gòu)買濾芯,則一級(jí)濾芯每個(gè)160元,二級(jí)濾芯每個(gè)80元.若客戶在使用過程中單獨(dú)購(gòu)買濾芯則一級(jí)濾芯每個(gè)400元,二級(jí)濾芯每個(gè)200元.現(xiàn)需決策安裝凈水系統(tǒng)的同時(shí)購(gòu)買濾芯的數(shù)量,為此參考了根據(jù)100套該款凈水系統(tǒng)在十年使用期內(nèi)更換濾芯的相關(guān)數(shù)據(jù)制成的圖表,其中表1是根據(jù)100個(gè)一級(jí)過濾器更換的濾芯個(gè)數(shù)制成的頻數(shù)分布表,圖2是根據(jù)200個(gè)二級(jí)過濾器更換的濾芯個(gè)數(shù)制成的條形圖.
表1:一級(jí)濾芯更換頻數(shù)分布表
一級(jí)濾芯更換的個(gè)數(shù) | 8 | 9 |
頻數(shù) | 60 | 40 |
圖2:二級(jí)濾芯更換頻數(shù)條形圖
以100個(gè)一級(jí)過濾器更換濾芯的頻率代替1個(gè)一級(jí)過濾器更換濾芯發(fā)生的概率,以200個(gè)二級(jí)過濾器更換濾芯的頻率代替1個(gè)二級(jí)過濾器更換濾芯發(fā)生的概率.
(1)求一套凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的各級(jí)濾芯總個(gè)數(shù)恰好為16的概率;
(2)記表示該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的二級(jí)濾芯總數(shù),求的分布列及數(shù)學(xué)期望;
(3)記分別表示該客戶在安裝凈水系統(tǒng)的同時(shí)購(gòu)買的一級(jí)濾芯和二級(jí)濾芯的個(gè)數(shù).若,且,以該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)購(gòu)買各級(jí)濾芯所需總費(fèi)用的期望值為決策依據(jù),試確定的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】山東省于2015年設(shè)立了水下考古研究中心,以此推動(dòng)全省的水下考古、水下文化遺產(chǎn)保護(hù)等工作;水下考古研究中心工作站,分別設(shè)在位于劉公島的中國(guó)甲午戰(zhàn)爭(zhēng)博物院和威海市博物館。為對(duì)劉公島周邊海域水底情況進(jìn)行詳細(xì)了解,然后再選擇合適的時(shí)機(jī)下水探摸、打撈,省水下考古中心在一次水下考古活動(dòng)中,某一潛水員需潛水米到水底進(jìn)行考古作業(yè),其用氧量包含以下三個(gè)方面:
①下潛平均速度為米/分鐘,每分鐘的用氧量為升;
②水底作業(yè)時(shí)間范圍是最少10分鐘最多20分鐘,每分鐘用氧量為0.4升;
③返回水面時(shí),平均速度為米/分鐘,每分鐘用氧量為0.32升.
潛水員在此次考古活動(dòng)中的總用氧量為升.
(Ⅰ)如果水底作業(yè)時(shí)間是分鐘,將表示為的函數(shù);
(Ⅱ)若,水底作業(yè)時(shí)間為20分鐘,求總用氧量的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的圖像在出的切線方程;
(2)判斷函數(shù)的單調(diào)性;
(3)證明:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,正方形的邊長(zhǎng)為,已知,將沿邊折起,折起后點(diǎn)在平面上的射影為點(diǎn),則翻折后的幾何體中有如下描述:①與所成角的正切值為;②;③;④平面平面,其中正確的命題序號(hào)為___________.
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