Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

a2

=1（a＞b＞0）的長軸的一個端點為A（2，0），離心率為

2

2

．直線y=k（x-1）與橢圓C交于不同的兩點B、D
（1）求橢圓C的方程；
（2）是否存在這樣的直線，使得△ABD的面積為

10

3

，若存在，求出直線方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知得

a=2 c a = 2 2 a2=b2+c2

，由此能求出橢圓C的方程．
（2）聯(lián)立

y=k(x-1) x2 4 + y2 2 =1

，得（2k²+1）x²-4k²x+2k²-4=0，由此利用橢圓弦長公式、點到直線距離公式、三角形面積結(jié)合已知條件能求出直線方程．

解答： 解：（1）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

a2

=1（a＞b＞0）的長軸的一個端點為A（2，0），離心率為

2

2

，
∴

a=2 c a = 2 2 a2=b2+c2

，解得a=2，c=

2

，b=

2

，
∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

2

=1．
（2）聯(lián)立

y=k(x-1) x2 4 + y2 2 =1

，得（2k²+1）x²-4k²x+2k²-4=0，
△＞0，設(shè)B（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
x1+x2=

4k2

2k2+1

，x₁x₂=

2k2-4

2k2+1

，
A（2，0）到直線y=k（x-1）的距離d=

|2k-k|

k2+1

=

|k|

k2+1

，
∵△ABD的面積為

10

3

，
∴

1

2

×

|k|

k2+1

×

k2+1

×

( 4k2 2k2+1 )2-4× 2k2-4 2k2+1

=

10

3

，
整理，得7k⁴-2k²-5=0，
解得k=±1．
∴直線方程為y=±（x-1）．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查直線方程的求法，是中檔題，解題時要注意點到直線的距離公式和弦長公式的合理運用．