利用極限存在準則證明
lim
n→∞
[
1
n2+1
+
1
n2+2
+…+
1
n2+n
]=1．
考點：數(shù)列的極限
專題：計算題
分析：由于
1
n+1
＜
1
n2+n
＜
1
n
，求和得
n
n+1
＜
1
n2+1
+
1
n2+2
+…+
1
n2+n
＜1．對兩端求極限，均為1，即可得證．
解答： 證明：∵
1
n+1
＜
1
n2+n
＜
1
n
，
∴
1
n+1
+
1
n+1
+…+
1
n+1
＜
1
n2+1
+
1
n2+2
+…+
1
n2+n
＜
1
n
+
1
n
+…+
1
n

即有
n
n+1
＜
1
n2+1
+
1
n2+2
+…+
1
n2+n
＜1．
由于
lim
n→∞
n
n+1
=1，
lim
n→∞
1=1，
則有
lim
n→∞
[
1
n2+1
+
1
n2+2
+…+
1
n2+n
]=1．
點評：本題考查數(shù)列極限的證明，考查放縮法，利用兩端的極限，從而得到所求的極限，是一道中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

非零向量
a
，
b
滿足|
a
|=|
b
|=|
a
-
b
|，則
a
與
a
-
b
的夾角為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

函數(shù)y=2x+log2x，x∈[1，2]的最小值為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若a，b滿足cos
π
4
cosa-sin
3π
4
sina=0，且cos（b+
π
3
）=sin（b-
π
3
），則tana，tanb的大小關系是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知集合A={x|2x2-x-3＜0}，函數(shù)f（x）=
1
[x-(2a+1)][(a-1)-x]
的定義域為集合B．
（Ⅰ）若A∪B=（-1，3〕，求實數(shù)a的值；
（Ⅱ）若A∩B=∅，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

規(guī)定[t]為不超過t的最大整數(shù)，例如[13.7]=13，[-3.5]=-4．對實數(shù)x，令f1（x）=[4x]，g（x）=4x-[4x]，進一步令f2（x）=f1[g（x）]，求若f1（x）=1，f2（x）=3同時滿足，求x的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x+
4
x
．
（1）判斷f（x）在（2，+∞）上的單調(diào)性并用定義證明；
（2）求f（x）在[1，4]的最大值和最小值，及其對應的x的取值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設集合A={x|x2-x-6＜0}，B={x|x2+2x-8＞0}，C={x|x2-4ax+3a2＜0}，若A∩B⊆C，試求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

平面向量
a
=（x，-3），
b
=（-2，1），
c
=（1，y），若
a
⊥（
b
-
c
），
b
∥（
a
+
c
），則
b
與
c
的夾角為
 
．

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