Question

（本小題滿分12分）已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，右焦點(diǎn)為，、是橢圓的左、右頂點(diǎn)，是橢圓上異于、的動點(diǎn)，且面積的最大值為12．

（1）求橢圓的方程；

（2）求證：當(dāng)點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動時，直線與圓恒有兩個交點(diǎn)，并求直線被圓所截得的弦長的取值范圍．

Answer 1

（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）設(shè)橢圓的方程為（），由面積的最大值為，可得，聯(lián)立，解得即可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由于點(diǎn)是橢圓上的動點(diǎn)，可得，圓心到直線的距離

（），即可證明直線與圓恒有兩個交點(diǎn)，利用弦長公式可得，即可得到的取值范圍.

試題解析：（1）設(shè)橢圓的方程為（），由已知得①，

2分

∵為橢圓右焦點(diǎn)，∴②， 4分

由①②可得，，∴橢圓的方程為； 5分

（2）∵是橢圓上的動點(diǎn)，∴，∴，

∴圓心到直線的距離

（），

∴直線與圓恒有兩個交點(diǎn)， 8分

， 10分

∵，∴，

∴. 12分

考點(diǎn)：1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)；2.直線與圓相交；3.弦長公式.