Question

13．某公司的管理者通過(guò)公司近年來(lái)科研費(fèi)用支出x（百萬(wàn)元）與公司所獲得利潤(rùn)y（百萬(wàn)元）的散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn)，y與x之間具有線性相關(guān)關(guān)系，具體數(shù)據(jù)如表：

年份	2010	2011	2012	2013	2014
科研費(fèi)用x（百萬(wàn)元）	1.6	1.7	1.8	1.9	2.0
公司所獲利潤(rùn)y（百萬(wàn)元）	1	1.5	2	2.5	3

（1）求y對(duì)x的回歸直線方程；（參考數(shù)據(jù)：$\sum_{i=1}^{5}$x${\;}_{i}^{2}$=16.3，$\sum_{i=1}^{5}$x_iy_i=18.5）
（2）若該公司的科研投入從2011年開(kāi)始連續(xù)10年每一年都比上一年增加10萬(wàn)元，預(yù)測(cè)2017年該公司可獲得的利潤(rùn)為多少萬(wàn)元？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計(jì)算$\overline{x}$、$\overline{y}$，求出回歸系數(shù)，寫(xiě)出回歸直線方程；
（2）由題知2017年時(shí)科研投入的x值，代入回歸方程求出$\widehat{y}$的值即可．

解答 解：（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計(jì)算可得
$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$×（1.6+1.7+1.8+1.9+2.0）=1.8，
$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$×（1+1.5+2+2.5+3）=2，
又$\sum_{i=1}^5{x_i^2}=16.3$，$\sum_{i=1}^5{{x_i}{y_i}}=18.5$；…（4分）
b=$\frac{{\sum_{i=1}^5{{x_i}{y_i}}-5×\bar x\bar y}}{{\sum_{i=1}^5{x_i^2}-5×{{\bar x}^2}}}$=$\frac{18.5-5×1.8×2}{{16.3-5×{{1.8}^2}}}=5$；…（6分）
a=$\overline y$-b$\overline x$=2-5×1.8=-7，…（7分）
故所求的回歸直線方程為$\widehat{y}$=5x-7；…（8分）
（2）由題可知到2017年時(shí)科研投入為x=2.3（百萬(wàn)元），
故可預(yù)測(cè)該公司所獲得的利潤(rùn)為$\widehat{y}$=5×2.3-7=4.5（百萬(wàn)元）；…（9分）
答：可預(yù)測(cè)2017年該公司獲得的利潤(rùn)為450萬(wàn)元． …（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了求回歸直線方程以及應(yīng)用回歸方程預(yù)測(cè)實(shí)際問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．