【題目】在矩形中，，，點是線段上靠近點的一個三等分點，點是線段上的一個動點，且.如圖，將沿折起至，使得平面平面.

（1）當時，求證：；

（2）是否存在，使得與平面所成的角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

【答案】(1)見解析(2)

【解析】試題分析: (1) 當時，點是的中點,由已知證出,根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理證得平面,進而證得結(jié)論;(2) 以為原點，的方向為軸，軸的正方向建立如圖所示空間直角坐標系.寫出各點坐標,求出平面的法向量,根據(jù)線面角的公式求出結(jié)果.

試題解析:

（1）當時，點是的中點.

∴，.

∵，∴.

∵，，，

∴.

∴.

又平面平面，平面平面，平面，

∴平面.

∵平面，∴.

（2）以為原點，的方向為軸，軸的正方向建立如圖所示空間直角坐標系.

則，，.

取的中點，

∵，∴，

∴ 易證得平面，

∵，∴，∴.

∴，，.

設(shè)平面的一個法向量為，

則

令，則.

設(shè)與平面所成的角為，

則

，

解得或（舍去）

∴存在實數(shù)，使得與平面所成的角的正弦值為，此時.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

判斷的奇偶性，并作出函數(shù)的圖像；

關(guān)于的方程恰有個不同的實數(shù)解，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】《最強大腦》是江蘇衛(wèi)視引進德國節(jié)目《SuperBrain》而推出的大型科學(xué)競技真人秀節(jié)目.節(jié)目籌備組透露挑選選手的方式：不但要對空間感知、照相式記憶進行考核，而且要讓選手經(jīng)過名校最權(quán)威的腦力測試，120分以上才有機會入圍.某重點高校準備調(diào)查腦力測試成績是否與性別有關(guān)，在該高校隨機抽取男、女學(xué)生各100名，然后對這200名學(xué)生進行腦力測試.規(guī)定：分數(shù)不小于120分為“入圍學(xué)生”，分數(shù)小于120分為“未入圍學(xué)生”.已知男生入圍24人，女生未入圍80人.

（1）根據(jù)題意，填寫下面的列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有以上的把握認為腦力測試后是否為“入圍學(xué)生”與性別有關(guān)；

性別

入圍人數(shù)

未入圍人數(shù)

總計

男生

24

女生

80

總計

（2）用分層抽樣的方法從“入圍學(xué)生”中隨機抽取11名學(xué)生，然后再從這11名學(xué)生中抽取3名參加某期《最強大腦》，設(shè)抽到的3名學(xué)生中女生的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.

附：，其中.

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（，為自然對數(shù)的底數(shù)）.

（1）當時，討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若關(guān)于的不等式在區(qū)間上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某幾何體的正視圖與側(cè)視圖如圖所示，則它的俯視圖不可能是（ ）

A. B. C. D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】鐵人中學(xué)高二學(xué)年某學(xué)生對其親屬30人飲食習(xí)慣進行了一次調(diào)查，并用如圖所示的莖葉圖表示30人的飲食指數(shù)．（說明：圖中飲食指數(shù)低于70的人，飲食以蔬菜為主；飲食指數(shù)高于70的人，飲食以肉類為主．）

（Ⅰ）根據(jù)莖葉圖，幫助這位學(xué)生說明其親屬30人的飲食習(xí)慣；

（Ⅱ）根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成下列的列聯(lián)表：

主食蔬菜

主食肉類

合計

50歲以下人數(shù)

50歲以上人數(shù)

合計人數(shù)

（Ⅲ）能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為其親屬的飲食習(xí)慣與年齡有關(guān)系？

附：.

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AD∥BC，AP＝AB＝AD＝1．

（Ⅰ）若直線PB與CD所成角的大小為，求BC的長；

（Ⅱ）求二面角B－PD－A的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的右焦點為,點為橢圓上的動點，若的最大值和最小值分別為和.

(I)求橢圓的方程

(Ⅱ)設(shè)不過原點的直線與橢圓 交于兩點,若直線的斜率依次成等比數(shù)列,求面積的最大值

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】一家保險公司決定對推銷員實行目標管理，即給推銷員確定一個具體的銷售目標，確定的銷售目標是否合適，直接影響到公司的經(jīng)濟效益，如果目標定得過高，多數(shù)推銷員完不成任務(wù)，會使推銷員失去信心：如果目標定得太低，將不利于挖掘推銷員的工作潛力，下面一組數(shù)據(jù)是部分推銷員的月銷售額（單位：千元）：

19.58 16.11 16.45 20.45 20.24 21.66 22.45 18.22 12.34

19.35 20.55 17.45 18.78 17.96 19.91 18.12 14.65 14.78

16.78 18.78 18.29 18.51 17.86 19.58 19.21 18.55 16.34

15.54 17.55 14.89 18.94 17.43 17.14 18.02 19.98 17.88

17.32 19.35 15.45 19.58 13.45 21.34 14.00 18.42 23.00

17.52 18.51 17.16 24.56 25.14

請根據(jù)這組樣本數(shù)據(jù)提出使65%的職工能夠完成銷售指標的建議.

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