Question

4．已知函數(shù)$f（x）=\frac{{{x^2}+1}}{bx+c}$是奇函數(shù)，且f（1）=2，
（1）求f（x）的解析式；
（2）判斷函數(shù)f（x）在[1，+∞）上的單調(diào)性；
（3）求函數(shù)在區(qū)間[1，3]上的最大、小值．

Answer 1

分析 （1）利用函數(shù)是奇函數(shù)，f（1）=2，求出b，c，得到函數(shù)的解析式．
（2）函數(shù)f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)．利用定義證明即可．
（3）由（2、知函數(shù)f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，直接求解函數(shù)的最值即可．

解答 解：（1）由$f（x）=\frac{{{x^2}+1}}{bx+c}$是奇函數(shù)，且f（1）=2
易求得b=1，c=0，∴$f（x）=\frac{{{x^2}+1}}{x}=x+\frac{1}{x}$（3分）
（2）函數(shù)f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)．      （4分）
證明：取x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂
則$f（{x_1}）-f（{x_2}）={x_1}+\frac{1}{x_1}-{x_2}-\frac{1}{x_2}=（{{x_1}-{x_2}}）（{1-\frac{1}{{{x_1}{x_2}}}}）$（6分）
∵1≤x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，$1-\frac{1}{{{x_1}{x_2}}}＞0$
∴$（{{x_1}-{x_2}}）（{1-\frac{1}{{{x_1}{x_2}}}}）＜0$，即f（x₁）＜f（x₂）（8分）
所以函數(shù)f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)．   （9分）
（3）由（2、知函數(shù)f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，所以函數(shù)f（x）在[1，3]上也是增函數(shù)
∴$f{（x）_{max}}=f（3）=3+\frac{1}{3}=\frac{10}{3}，f{（x）_{min}}=f（1）=1+1=2$
故所求函數(shù)的最大值為$\frac{10}{3}$，最小值為2．  （12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的解析式的求法，函數(shù)的單調(diào)性的判斷，函數(shù)的最值的求法，考查計(jì)算能力．