Question

已知直線l經(jīng)過點P(3，1)，且被兩平行直線l1：x＋y＋1＝0和l2：x＋y＋6＝0截得的線段之長為5，求直線l的方程．

 

Answer 1

x＝3或y＝1

【解析】(解法1)若直線l的斜率不存在，則直線l的方程為x＝3，此時與l1、l2的交點分別為A′(3，－4)和B′(3，－9)，截得的線段AB的長＝5，符合題意．

若直線l的斜率存在，則設(shè)直線l的方程為y＝k(x－3)＋1.

解方程組，得A，

解方程組，得B.

由＝5，得＝52.

解之，得k＝0，即所求的直線方程為y＝1.綜上可知，所求l的方程為x＝3或y＝1.

(解法2)由題意，直線l1、l2之間的距離為d＝＝，且直線l被平行直線l1、l2所截得的線段AB的長為5(如圖)．

設(shè)直線l與直線l1的夾角為θ，則sinθ＝，故θ＝45°.

由直線l1：x＋y＋1＝0的傾斜角為135°，知直線l的傾斜角為0°或90°.又直線l過點P(3，1)，故直線l的方程為x＝3或y＝1.

(解法3)設(shè)直線l與l1、l2分別相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)，則x1＋y1＋1＝0，x2＋y2＋6＝0.

兩式相減，得(x1－x2)＋(y1－y2)＝5.①

又(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝25，②

聯(lián)立①②，可得

由上可知，直線l的傾斜角分別為0°或90°.

故所求直線方程為x＝3或y＝1.