Question

如圖，由拋物線C₁：y²=4x與C₂：y²=8（3-x）圍成一個封閉圖形OACB，F(xiàn)是拋物線的焦點，直線y=h（h＜2）交兩弧于P、Q兩點，則當h=

 

時，h|PQ|最大．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：利用直線的方程兩個拋物線的方程求出點的坐標，在求出距離，把h|PQ|轉化關于h的式子，最后利用導數(shù)解決問題

解答： 解：拋物線C₁：y²=4x與C₂：y²=8（3-x），直線y=h（h＜2）
∵拋物線C_1和C₂都與直線y=h（h＜2）相交，且交點為p，Q
∴P（

h2

4

，h），Q（3-

h2

8

，h）
|PQ|=3-

3h2

8

  即h|PQ|=3h-

3h3

8

 
設f（h）=3h-

3h3

8

   h＜2
可得f（h）′=3-

9h2

8

 h＜2，令3-

9h2

8

=0得h=

2 6

3

由f（h）′＞0，h＜

2 6

3

；f（h）′＜0  

2 6

3

＜h＜2 
所以f（h）=3h-

3h3

8

  h＜2，在區(qū)間（-∞，

2 6

3

）上單調遞增，在區(qū)間（

2 6

3

，2）上單調遞減
故當h=

2 6

3

  h|PQ|最大

點評：本題考察了用函數(shù)的思想解決圓錐曲線的最值問題，因為是三次函數(shù)必需借助導數(shù)才能解決