Question

命題p：“函數(shù)f（x）=2^x+

a

2x

在區(qū)間[4，+∞）上遞增”；命題Q：“g（x）=log₂x-

a

log2x

在區(qū)間[4，+∞）上遞增”．若命題p與命題Q有且僅有一個真，求實數(shù)a的集合．

Answer 1

考點：復合命題的真假

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,簡易邏輯

分析：對于命題P：當a≤0時，函數(shù)f（x）=2^x+

a

2x

在區(qū)間[4，+∞）上遞增；當a＞0時，由2x=

a

2x

?2x=

a

，

a

≤24，?a≤256．即可得出a的取值范圍集合M；對于命題Q：當a≥0時，g（x）在區(qū)間[4，+∞）上遞增；當a＜0時，由log2x=-

a

log2x

?log2x=

-a

，

-a

≤log24?a≥-4．即可得出a的取值范圍集合N．若命題p與命題Q有且僅有一個真，可知：滿足題意的a的集合為C_R（M∩N）．

解答： 解：對于命題P：當a≤0時，函數(shù)f（x）=2^x+

a

2x

在區(qū)間[4，+∞）上遞增；
當a＞0時，由2x=

a

2x

?2x=

a

，運用三角不等式可知，

a

≤24，?a≤256．
綜上可得：當a∈（-∞，256]=M時，函數(shù)f（x）=2^x+

a

2x

在區(qū)間[4，+∞）上遞增；
對于命題Q：當a≥0時，g（x）在區(qū)間[4，+∞）上遞增；
當a＜0時，由log2x=-

a

log2x

?log2x=

-a

，運用三角不等式得：

-a

≤log24?a≥-4．
綜上可得：a∈[-4，+∞）=N時，g（x）=log₂x-

a

log2x

在區(qū)間[4，+∞）上遞增．
若命題p與命題Q有且僅有一個真，且M∪N=R
因此滿足題意的a的集合為C_R（M∩N）=（-∞，-4）∪（256，+∞）．

點評：本題考查了指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)類型的函數(shù)的單調(diào)性、簡易邏輯的有關(guān)知識，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．