命題p:“函數(shù)f(x)=2x+
a
2x
在區(qū)間[4,+∞)上遞增”;命題Q:“g(x)=log2x-
a
log2x
在區(qū)間[4,+∞)上遞增”.若命題p與命題Q有且僅有一個(gè)真,求實(shí)數(shù)a的集合.
考點(diǎn):復(fù)合命題的真假
專題:函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,簡(jiǎn)易邏輯
分析:對(duì)于命題P:當(dāng)a≤0時(shí),函數(shù)f(x)=2x+
a
2x
在區(qū)間[4,+∞)上遞增;當(dāng)a>0時(shí),由2x=
a
2x
?2x=
a
,
a
24
,?a≤256.即可得出a的取值范圍集合M;對(duì)于命題Q:當(dāng)a≥0時(shí),g(x)在區(qū)間[4,+∞)上遞增;當(dāng)a<0時(shí),由log2x=-
a
log2x
?log2x=
-a
-a
≤log24
?a≥-4.即可得出a的取值范圍集合N.若命題p與命題Q有且僅有一個(gè)真,可知:滿足題意的a的集合為CR(M∩N).
解答: 解:對(duì)于命題P:當(dāng)a≤0時(shí),函數(shù)f(x)=2x+
a
2x
在區(qū)間[4,+∞)上遞增;
當(dāng)a>0時(shí),由2x=
a
2x
?2x=
a
,運(yùn)用三角不等式可知,
a
24
,?a≤256.
綜上可得:當(dāng)a∈(-∞,256]=M時(shí),函數(shù)f(x)=2x+
a
2x
在區(qū)間[4,+∞)上遞增;
對(duì)于命題Q:當(dāng)a≥0時(shí),g(x)在區(qū)間[4,+∞)上遞增;
當(dāng)a<0時(shí),由log2x=-
a
log2x
?log2x=
-a
,運(yùn)用三角不等式得:
-a
≤log24
?a≥-4.
綜上可得:a∈[-4,+∞)=N時(shí),g(x)=log2x-
a
log2x
在區(qū)間[4,+∞)上遞增.
若命題p與命題Q有且僅有一個(gè)真,且M∪N=R
因此滿足題意的a的集合為CR(M∩N)=(-∞,-4)∪(256,+∞).
點(diǎn)評(píng):本題考查了指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)類型的函數(shù)的單調(diào)性、簡(jiǎn)易邏輯的有關(guān)知識(shí),考查了推理能力和計(jì)算能力,屬于難題.
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2
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2
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