Question

（2013•長(zhǎng)春一模）數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和是S_n，且Sn+

1

2

an=1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）記bn=log3

a 2 n

4

，數(shù)列{

1

bn•bn+2

}的前n項(xiàng)和為T_n，證明：Tn＜

3

16

．

Answer 1

分析：（1）由Sn+

1

2

an=1，先分別令n=1，2，3，求出a₁=

2

3

，a₂=

2

9

，a₃=

2

27

．由此猜想a_n=

2

3n

．再用數(shù)學(xué)歸納法證明．
（2）由a_n=

2

3n

，知bn=log3

a 2 n

4

=log33-2n=-2n，故

1

bn•bn+2

=

1

(-2n)•[-2(n+2)]

=

1

4n(n+2)

=

1

8

（

1

n

-

1

n+2

），由此利用裂項(xiàng)求和法能夠證明數(shù)列{

1

bn•bn+2

}的前n項(xiàng)和T_n＜

3

16

．

解答：解：（1）∵Sn+

1

2

an=1，
∴a1+

1

2

a1=1，解得a₁=

2

3

．

2

3

+a2+

1

2

a2=1，解得a₂=

2

9

，

2

3

+

2

9

+a3+

1

2

a3=1，解得a₃=

2

27

．
由此猜想a_n=

2

3n

．
用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)n=1時(shí)，a₁=

2

3

，成立；
②假設(shè)n=k時(shí)成立，即ak=

2

3k

，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，

2

3

+

2

32

+…+

2

3k

+ak+1+

1

2

ak+1 =1，
∴

3

2

ak+1=1-

2 3 (1- 1 3k )

1- 1 3

=

1

3k

，解得ak+1=

2

3k+1

，也成立．
∴a_n=

2

3n

．
（2）∵a_n=

2

3n

，
∴bn=log3

a 2 n

4

=log33-2n=-2n，
∴

1

bn•bn+2

=

1

(-2n)•[-2(n+2)]

=

1

4n(n+2)

=

1

8

（

1

n

-

1

n+2

），
∵數(shù)列{

1

bn•bn+2

}的前n項(xiàng)和為T_n，
∴T_n=

1

8

[（1-

1

3

）+（

1

2

-

1

4

）+（

1

3

-

1

5

）+…+（

1

n-2

-

1

n

）+（

1

n-1

-

1

n+1

）+（

1

n

-

1

n+2

）]
=

1

8

（1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

）
=

3

16

-

1

n+1

-

1

n+2

＜

3

16

．
故Tn＜

3

16

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查不等式的證明．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意數(shù)學(xué)歸納法和裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．