Question

函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且對任意實(shí)數(shù)x，都有f（x+1）=f（x-1）成立．已知當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，f（x）=log_ax．
（1）求x∈[-1，1]時(shí)，函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（2）若函數(shù)f（x）的最大值為

1

2

，在區(qū)間[-1，3]上，解關(guān)于x的不等式f(x)＞

1

4

．

Answer 1

考點(diǎn)：其他不等式的解法,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）由已知中f（x+1）=f（x-1），故可能函數(shù)是以2為周期的周期函數(shù)，又由函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，結(jié)合當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，f（x）=log_ax，我們易得，x∈[-1，1]時(shí)，函數(shù)f（x）的表達(dá)式．
（2）由于f（x）=log_ax的底數(shù)不確定，故我們要對底數(shù)進(jìn)行分類討論，進(jìn)而求出滿足條件的a值，易將不等式轉(zhuǎn)化為一個(gè)對數(shù)不等式，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，我們易求出滿足條件的不等式的解集．

解答： 解：（1）由函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且f（x+1）=f（x-1）成立，
可得f（x+2）=f（x），∴f（x）=

loga(2+x)  ，x∈[-1 ， 0] loga(2-x)  ，x∈[0 ，1]

．
（2）由于函數(shù)是以2為周期的周期函數(shù)，故只需要考查區(qū)間[-1，1]
當(dāng)a＞1時(shí)，由函數(shù)f（x）的最大值為

1

2

，知f（0）=f（x）_max=log_a2=

1

2

，即a=4．
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，則當(dāng)x=±1時(shí)，函數(shù)f（x）取最大值為

1

2

即log_a（2-1）=

1

2

，舍去．
綜上所述，a=4．
當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，若x∈[-1，0]，則由log₄（2+x）＞

1

4

，可得

2

-2＜x≤0．
若x∈（0，1]，則由log₄（2-x）＞

1

4

，可得0＜x＜2-

2

．
∴此時(shí)滿足不等式的解集為（

2

-2，2-

2

）．
∵函數(shù)是以2為周期的周期函數(shù)，∴在區(qū)間[-1，3]上，f（x）＞

1

4

的解集為（

2

，4-

2

）．
綜上，所得不等式的解集為（

2

-2，2-

2

）∪（

2

，4-

2

）．

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用，函數(shù)的周期性，其中當(dāng)對數(shù)函數(shù)的底數(shù)不確定時(shí)，對a進(jìn)行分類討論是對數(shù)函數(shù)常用的處理的方法，屬于中檔題．