Question

在△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對(duì)邊，且C=

π

3

，a+b=λc，（其中λ＞1）．
（Ⅰ）若c=λ=2時(shí)，求

AC

•

BC

的值；
（Ⅱ）若

AC

•

BC

=

1

6

（λ⁴+3）時(shí)，求邊長(zhǎng)c的最小值及判定此時(shí)△ABC的形狀．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用正弦定理化簡(jiǎn)a+b=λc，然后把λ與sinC的值代入，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值即可得到一個(gè)角的正弦函數(shù)值，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值即可得到B的度數(shù)，進(jìn)而得到此三角形為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，然后由a=b=2，cosC=cos

π

3

，利用平面向量的數(shù)量積得運(yùn)算法則，即可求出

AC

•

BC

的值；
（Ⅱ）由cosC的值，根據(jù)余弦定理即可得到c的平方與a+b和ab之間的關(guān)系式，根據(jù)平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則，由若

AC

•

BC

=

1

6

（λ⁴+3），即可表示出ab，又a+b=λc，代入得到的關(guān)系式中，利用基本不等式即可求出c的最小值，進(jìn)而求出此時(shí)λ的值，得到a+b和ab的值，聯(lián)立即可求出a與b的值，根據(jù)勾股定理的逆定理即可判斷出△ABC為直角三角形．

解答：解：（Ⅰ）∵a+b=λc由正弦定理得：sinA+sinB=λsinC，
又∵λ=2，C=

π

3

?sinB+sin(

2π

3

-B)=

3

?sin(B+

π

6

)=1，
∴B=

π

3

，根據(jù)c=2，得到△ABC為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，
∴

AC

•

BC

=abcosC=2；
（Ⅱ）由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC=a²+b²-ab=（a+b）²-3ab，
由

AC

•

BC

=

1

6

(λ4+3)?ab=

1

3

(λ4+3)，又a+b=λc，
∴c2=λ2c2-(λ4+3)?c2=

λ4+3

λ2-1

=(λ2-1)+

4

λ2-1

+2≥6
∴cmin=

6

當(dāng)且僅當(dāng)λ=

3

時(shí)取等號(hào)．此時(shí)c=

6

，ab=4，a+b=3

2

，
∴

a= 2 b=2 2 c= 6

或

a=2 2 b= 2 c= 6

，
∴△ABC為直角三角形．

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用正弦、余弦定理化簡(jiǎn)求值，靈活運(yùn)用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡(jiǎn)求值，會(huì)利用基本不等式求函數(shù)的最小值，靈活運(yùn)用勾股定理的逆定理判斷三角形的形狀，是一道中檔題．