Question

定義在R上的奇函數(shù)f（x）有最小正周期4，且x∈（0，2）時，．
（1）求f（x）在[-2，2]上的解析式；
（2）判斷f（x）在（0，2）上的單調(diào)性，并給予證明；
（3）當(dāng)λ為何值時，關(guān)于方程f（x）=λ在[-2，2]上有實數(shù)解？

Answer 1

【答案】分析：（1）可設(shè)x∈（-2，0），則-x∈（0，2）由x∈（0，2）時，=可求f（-x），再由奇函數(shù)的性質(zhì)可求
（2）利用函數(shù)的單調(diào)性的定義進(jìn)行證明即可
（3）轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)f（x）在（-2，2）上的值域，結(jié)合（2）可先求f（x）在（0，2）上的值域，然后結(jié)合奇函數(shù)的對稱性可求在（-2，0）上的值域
解答：解：（1）設(shè)x∈（-2，0），則-x∈（0，2）
∵x∈（0，2）時，=
∴
由函數(shù)f（x）為奇函數(shù)可得，f（-x）=-f（x）
∴
∵f（0）=0，
∵周期為4且為奇函數(shù)，f（-2）=-f（2）=f（2）
∴f（-2）=f（2）=0

（2）設(shè)0＜x₁＜x₂＜2
令
則=
=
∵0＜x₁＜x₂＜2
∴g（x₁）＜g（x₂）
∴函數(shù)g（x）在（0，2）單調(diào)遞增，且g（x）＞0
∴f（x）在（0，2）單調(diào)遞減
（3）由（2）可得當(dāng)0＜x＜2時，單調(diào)遞減
故
由奇函數(shù)的對稱性可得，x∈（-2，0）時，
當(dāng)x=0時，f（0）=0
∵關(guān)于方程f（x）=λ在[-2，2]上有實數(shù)解
∴
點評：本題主要考查了利用函數(shù)的奇函數(shù)的 性質(zhì)求解函數(shù)的解析式，及利用函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行判斷函數(shù)單調(diào)性的問題，還考查了方程與函數(shù)的相互轉(zhuǎn)化的思想在解題中的應(yīng)用，屬于綜合試題