Question

4．在等差數(shù)列{a_n}中，a₃+a₄+a₅=21，a₉=17．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）令b_n=2^a_n-a_n（n∈N^*），求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）設等差數(shù)列{a_n}的公差為d，運用等差數(shù)列的通項公式，解方程可得首項和公差，即可得到所求通項；
（2）求得b_n=2^a_n-a_n=2^2n-1-（2n-1），運用數(shù)列的求和方法：分組求和，借助等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式，計算即可得到所求．

解答 解：（1）設等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
由a₃+a₄+a₅=21，a₉=17，
即為3a₁+9d=21，a₁+8d=17，
解得a₁=1，d=2，所以a_n=2n-1；
（2）b_n=2^a_n-a_n=2^2n-1-（2n-1），
數(shù)列{b_n}的前n項和S_n=（2-1）+（2³-3）+…+（2^2n-1-（2n-1））
=（2+2³+…+2^2n-1）-（1+3+…+2n-1）
=$\frac{2（1-{4}^{n}）}{1-4}$-$\frac{1}{2}$（1+2n-1）n=$\frac{2（{4}^{n}-1）}{3}$-n²．

點評 本題考查等差數(shù)列的通項公式和求和公式的運用，同時考查數(shù)列的求和方法：分組求和，考查運算能力，屬于中檔題．