Question

13．班上有四位同學(xué)申請(qǐng)A，B，C三所大學(xué)的自主招生，若每位同學(xué)只能申請(qǐng)其中一所大學(xué)，且申請(qǐng)其中任何一所大學(xué)是等可能的．
（1）求恰有2人申請(qǐng)A大學(xué)或B大學(xué)的概率；
（2）求申請(qǐng)C大學(xué)的人數(shù)X的分布列與數(shù)學(xué)期望E（X）．

Answer 1

分析 （1）記“恰有2人申請(qǐng)A大學(xué)或B大學(xué)”為事件M，利用n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生中k次的概率計(jì)算公式能求出恰有2人申請(qǐng)A大學(xué)或B大學(xué)的概率．
（2）由題意X的所有可能取值為0，1，2，3，4，且X～B（4，$\frac{1}{3}$），由此能求出X的分布列和E（X）．

解答 解：（1）記“恰有2人申請(qǐng)A大學(xué)或B大學(xué)”為事件M，
則P（M）=${C}_{4}^{2}（\frac{2}{3}）^{2}（\frac{1}{3}）^{2}$=$\frac{8}{27}$，
∴恰有2人申請(qǐng)A大學(xué)或B大學(xué)的概率為$\frac{8}{27}$．
（2）由題意X的所有可能取值為0，1，2，3，4，且X～B（4，$\frac{1}{3}$），
P（X=0）=${C}_{4}^{0}（\frac{2}{3}）^{4}$=$\frac{16}{81}$，
P（X=1）=${C}_{4}^{1}（\frac{1}{3}）（\frac{2}{3}）^{3}$=$\frac{32}{81}$，
P（X=2）=${C}_{4}^{2}（\frac{1}{3}）^{2}（\frac{2}{3}）^{2}$=$\frac{24}{81}$，
P（X=3）=${C}_{4}^{3}（\frac{1}{3}）^{3}（\frac{2}{3}）$=$\frac{8}{81}$，
P（X=4）=${C}_{4}^{4}（\frac{1}{3}）^{4}$=$\frac{1}{81}$，
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3	4
P	$\frac{16}{81}$	$\frac{32}{81}$	$\frac{24}{81}$	$\frac{8}{81}$	$\frac{1}{81}$

E（X）=4×$\frac{1}{3}$=$\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意二項(xiàng)分布的性質(zhì)的合理運(yùn)用．