Question

14．如圖，圓O的直徑AB=8，圓周上過點C的切線與BA的延長線交于點E，過點B作AC的平行線交EC的延長線于點P．
（Ⅰ）求證：BE²=CE•PE
（Ⅱ）若EC=2$\sqrt{5}$，求PB的長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明：△BEC∽△PEB，即可證明BE²=CE•PE
（Ⅱ）證明△ACE∽△CBE，求出AC，由$\frac{AC}{BP}=\frac{EA}{EB}$，可求PB的長．

解答 （Ⅰ）證明：∵AC∥BP，∴∠ACE=∠P                   …（1分）
∵CE是圓O的切線，
∴∠ACE=∠CBE，
∴∠CBE=∠P        …（2分）
∵∠BEP=∠CEB，
∴△BEC∽△PEB                     …（3分）
∴$\frac{BE}{PE}=\frac{CE}{BE}$，
∴BE²=CE•PE…（4分）
（Ⅱ）解：∵EC為圓O的切線，EC=2$\sqrt{5}$，AB=8，…（5分）
∴EC²=EA•EB=EA（EA+AB），∴EA=2．                      …（6分）
∵∠ECA=∠ABC，∴△ACE∽△CBE，
∴$\frac{AC}{BC}=\frac{EA}{EC}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}$．      …（7分）
∵AB為圓O的直徑，∴∠ACB=90°，∴AC²+BC²=AB²．
∴AC=$\frac{4\sqrt{6}}{3}$，…（9分）
由$\frac{AC}{BP}=\frac{EA}{EB}$，可得PB=$\frac{20\sqrt{6}}{3}$．                            …（10分）

點評 本題考查三角形相似的判定語性質(zhì)的運用，考查切割線定理的運用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．