Question

19．在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，對角線BD₁分別與平面AC，平面BC₁，平面BA₁所成的角，并求這些角的余弦值．

Answer 1

分析 利用正方體的結(jié)構(gòu)特征和線面角的定義，結(jié)合勾股定理求解．

解答 解：如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
設(shè)棱長為1，由BD=BC₁=$\sqrt{2}$，BD₁=$\sqrt{3}$，
∵D₁D⊥平面AC，∴對角線BD₁與平面AC所成的角為∠DBD₁，
cos∠DBD₁=$\frac{BD}{B{D}_{1}}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∵D₁C₁⊥平面BC₁，∴對角線BD₁與平面BC₁所成的角為∠C₁BD₁，
cos∠C₁BD₁=$\frac{B{C}_{1}}{B{D}_{1}}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∵A₁D₁⊥平面BA₁，∴對角線BD₁分別與平面BA₁所成的角為∠A₁BD₁，
cos∠A₁BD₁=$\frac{{A}_{1}B}{B{D}_{1}}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查線面角的判斷及其余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意空間思維能力的培養(yǎng)．