Question

設(shè)函數(shù)，其中a＞0，曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)P（0，f（0））處的切線(xiàn)方程為x軸
（1）若x=1為f（x）的極值點(diǎn)，求f（x）的解析式
（2）若過(guò)點(diǎn)（0，2）可作曲線(xiàn)y=f（x）的三條不同切線(xiàn)，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，理清題意，列出方程解出a、b、c，從而確定解析式
（2）考查學(xué)生構(gòu)建函數(shù)能力，要求學(xué)生要有一定的轉(zhuǎn)化能力，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極大值和極小值，數(shù)形結(jié)合解決
解答：解：由得：f（0）=c，f'（x）=x²-ax+b，f'（0）=b．
又由曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)P（0，f（0））處的切線(xiàn)方程為x軸，得f（0）=0，f'（0）=0．
故b=0，c=0．（2分）
（I）又f'（1）=0，
所以a=1，（4分）
（II）．由于點(diǎn)（t，f（t））處的切線(xiàn)方程為y-f（t）=f'（t）（x-t），而點(diǎn)（0，2）在切線(xiàn)上，
所以2-f（t）=f'（t）（-t），
化簡(jiǎn)得，即t滿(mǎn)足的方程為．（6分）
過(guò)點(diǎn)（0，2）可作y=f（x）的三條切線(xiàn)，等價(jià)于方程2-f（t）=f'（t）（0-t）
有三個(gè)相異的實(shí)根，即等價(jià)于方程有三個(gè)相異的實(shí)根.，
故有
由g（t）的單調(diào)性知：要使g（t）=0有三個(gè)相異的實(shí)根，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)滿(mǎn)足，
即，．
∴a的取值范圍是（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用以及數(shù)形結(jié)合的運(yùn)用能力，對(duì)學(xué)生有一定的能力要求，有一定的難度