Question

3．（Ⅰ）以直角坐標系的原點為極點，x軸的正半軸為極軸，并在兩種坐標系中取相同的長度單位已知直線的極坐標方程為θ=$\frac{π}{4}$（ρ∈R），它與曲線$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\sqrt{5cos}θ}\\{y=1+\sqrt{5sin}θ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）相交于兩點A和B，求|AB|；
（Ⅱ）已知極點與原點重合，極軸與x軸正半軸重合，若直線C₁的極坐標方程為：ρcos（θ-$\frac{π}{4}$），曲線C₂的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosθ}\\{y=3+sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），試求曲線C₂關(guān)于直線C₁對稱的曲線的直角坐標方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把直線l的極坐標方程、曲線C的參數(shù)方程都化為直角坐標方程，根據(jù)圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系求出弦長|AB|；
（Ⅱ）把直線C₁的極坐標方程C₂的參數(shù)方程化為普通方程，利用點的對稱關(guān)系求出對應(yīng)曲線的方程．

解答 解：（Ⅰ）直線的極坐標方程是θ=$\frac{π}{4}$（ρ∈R），
化為普通方程是y=x；
曲線的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\sqrt{5cos}θ}\\{y=1+\sqrt{5sin}θ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），
化為直角坐標方程為圓：（x-1）²+（y-2）²=5；…（1分）
則圓心為C（1，2），半徑R=$\sqrt{5}$，…（2分）
∴圓心C到直線y=x的距離為：d=$\frac{|1-2|}{\sqrt{{1}^{2}{+1}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$； …（3分）
由垂徑定理得，|AB|=2$\sqrt{{R}^{2}{-d}^{2}}$=2$\sqrt{5-\frac{1}{2}}$=3$\sqrt{2}$；…（4分）
（Ⅱ）∵直線C₁的極坐標方程為：ρcos（θ-$\frac{π}{4}$），
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρcosθ+$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρsinθ=$\sqrt{2}$，
化為普通方程是x+y=2；…（5分）
又曲線C₂的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosθ}\\{y=3+sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），
消去參數(shù)得（x-1）²+（y-3）²=1，
∴曲線C₂是以（1，3）為圓心，1為半徑的圓； …（6分）
設(shè)點P（x，y）是圓心（1，3）關(guān)于直線x+y=2的對稱點，
則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{y-3}{x-1}=1}\\{\frac{x+1}{2}+\frac{y+3}{2}=2}\end{array}\right.$；
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴P（-1，1）；
∴所求的曲線為圓（x+1）²+（y-1）²=1． …（7分）

點評 本題考查了直線與圓的方程的應(yīng)用問題、也考查了參數(shù)方程與極坐標方程的應(yīng)用問題，考查了運算與求解能力，是綜合性題目．