Question

已知f（x）=xe^x，記f₁（x）=f′（x），f₂（x）=f₁′（x），…f_n+1（x）=f_n′（x）（n∈N^*），則f_n（x）=

 

（用x表示）．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性

專題：導數的概念及應用,推理和證明

分析：由已知中f（x）=xe^x，記f₁（x）=f′（x），f₂（x）=f₁′（x），…f_n+1（x）=f_n′（x）（n∈N^*），分析出f_n（x）解析式隨n變化的規(guī)律，可得答案．

解答： 解：∵f（x）=xe^x，
f₁（x）=f′（x）=e^x+xe^x，
f₂（x）=f₁′（x）=2e^x+xe^x，
f₃（x）=f₂′（x）=3e^x+xe^x，
…
由此歸納可得：f_n（x）=f_n-1′（x）=n^x+xe^x，
故答案為：n^x+xe^x．

點評：歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個別情況發(fā)現某些相同性質；（2）從已知的相同性質中推出一個明確表達的一般性命題（猜想）．