Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)面AA₁CC₁垂直于底面ABC，AA₁=A₁C=AC=2，AB=BC，且AB⊥BC，O為AC中點(diǎn)．
（Ⅰ）在BC₁上確定一點(diǎn)E，使得OE∥平面A₁AB，并說明理由；
（Ⅱ）求二面角A-A₁B-C₁的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）先確定點(diǎn)的位置，進(jìn)一步利用面面平行說面線面平行．
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，以O(shè)為原點(diǎn)OB，OC，OA₁為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系．分別求出：
O（0，0，0），A（0，-1，0），A1(0，0，

3

)，C（0，1，0），C1(0，2，

3

)，B（1，0，0），E（

1

2

，1，

3

2

)則：

AC1

=(0，1，-

3

)，

AA1

=(0，1，

3

)，

AB

=(1，1，0)則：

AC1

=(0，1，-

3

)，

AA1

=(0，1，

3

)，

AB

=(1，1，0)，設(shè)平面AA₁B的法向量為：

n

=(x，y，z)則：

n • AA1 =0 n • AB =0

解得：

n

=(-1，1，-

3

3

)，同理：設(shè)平面A₁BC₁的法向量為

m

=(x，y，z)，則：

m • A1B =0 m • A1C1 =0

解得：

m

=(

3

，0，1)，最后利用cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m || n |

確定結(jié)果．

解答： 解：（1）取中點(diǎn)E，
理由：取AB的中點(diǎn)D，BC的中點(diǎn)F，連接A₁B和AB₁相交于G．
并連接OF，EF，DG
根據(jù)中位線得到：DG∥AA₁，EF∥CC₁∥AA₁
OF∥AB，
所以：平面OEF∥平面A₁AB，
OE?平面OEF，
所以：OE∥平面A₁AB．
（2）以O(shè)為原點(diǎn)OB，OC，OA₁為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系．
則：O（0，0，0），A（0，-1，0），A1(0，0，

3

)，C（0，1，0），C1(0，2，

3

)，
B（1，0，0），E（

1

2

，1，

3

2

)，
則：

AC1

=(0，1，-

3

)，

AA1

=(0，1，

3

)，

AB

=(1，1，0)，
設(shè)平面AA₁B的法向量為：

n

=(x，y，z)，
則：

n • AA1 =0 n • AB =0

解得：

n

=(-1，1，-

3

3

)，
同理：設(shè)平面A₁BC₁的法向量為

m

=(x，y，z)，
則：

m • A1B =0 m • A1C1 =0

解得：

m

=(

3

，0，1)，
所以：cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m || n |

=-

2 7

7

，
二面角A-A₁B-C₁的余弦值-

2 7

7

．

點(diǎn)評：本題考查的知識要點(diǎn)：線面平行的判定，空間直角坐標(biāo)系，法向量，向量的數(shù)量積，二面角的應(yīng)用．屬于中等題型．