Question

形如y=x 

1

xα

（x＞0）的函數(shù)稱為“冪指型函數(shù)”，它的求導過程可概括成：取對數(shù)--兩邊對x求導--代入還原；例如：y=x^x（x＞0），取對數(shù)lny=xlnx，對x求導

1

y

y′=lnx+1，代入還原y′=x^x（lnx+1）；給出下列命題：
①當α=1時，函數(shù)y=x 

1

xα

（x＞0）的導函數(shù)是y′=

1-lnx

x2

x 

1

x

（x＞0）；
②當α＞0時，函數(shù)y=x 

1

xα

（x＞0）在（0，e 

1

α

）上單增，在（e 

1

α

，+∞）上單減；
③當b

1

α

＞e

1

e

時，方程b^x=x^α（b＞0，b≠1，α≠0，x＞0）有根；
④當α＜0時，若方程x^α=log_bx（b＞0，b≠1，x＞0）有兩根，則e 

1

αe

＜b＜1；
其中正確的命題是

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用,指數(shù)型復合函數(shù)的性質(zhì)及應用

專題：計算題,新定義,函數(shù)的性質(zhì)及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：①當α=1時，函數(shù)y=x 

1

xα

（x＞0）即y=x

1

x

，按照取對數(shù)--兩邊對x求導--代入還原，即可求出導數(shù)；
②先求出函數(shù)y的導數(shù)，再令它大于0、小于0，解不等式求出單調(diào)區(qū)間；
③將方程b^x=xα轉化為b

1

α

=x

1

x

，再由①求出單調(diào)區(qū)間，得到最大值，根據(jù)條件b

1

α

＞e

1

e

，即可判斷方程的根的情況；
④將方程x^α=log_bx轉化為b=x

1

xα

，再由②求出y的單調(diào)區(qū)間，得到函數(shù)的最值，考慮x趨向于0時，函數(shù)值的情況，再由方程有兩實根，從而判斷b的范圍．

解答： 解：①當α=1時，函數(shù)y=x 

1

xα

（x＞0）即y=x

1

x

，則lny=

1

x

lnx，

1

y

y′=

1 x •x-lnx

x2

，
故導函數(shù)是y′=

1-lnx

x2

x 

1

x

（x＞0）故①正確；
②當α＞0時，函數(shù)y=x 

1

xα

（x＞0），lny=

1

xα

lnx，

1

y

y′=

xα-1-lnx•α•xα-1

x2α

，
故導函數(shù)是y′=x

1

xα

•

1-αlnx

xα+1

，令y′＞0，則0＜x＜e

1

α

，y′＜0，則x＞e

1

α

；故②正確；
③當b

1

α

＞e

1

e

時，方程b^x=x^α（b＞0，b≠1，α≠0，x＞0）即b

1

α

=x

1

x

，
由①知，y=x

1

x

的導函數(shù)是y′=

1-lnx

x2

x 

1

x

（x＞0），當0＜x＜e時，y′＞0；當x＞e時，y′＜0．
故x=e時，y取極大值，也為最大值，且為e

1

e

，而b

1

α

＞e

1

e

，故方程無實根，故③錯；
④方程x^α=log_bx（b＞0，b≠1，x＞0）即x=bxα，b=x

1

xα

，由②得到函數(shù)y=x 

1

xα

（x＞0）的導函數(shù)是y′=x

1

xα

•

1-αlnx

xα+1

，則由于α＜0，故y在（0，e 

1

α

）上單調(diào)遞減，在（e 

1

α

，+∞）上單調(diào)遞增，故在x=e

1

α

時，y取得最小值e

1

eα

，且最小值小于1，在x＞0，且x趨向于0時，函數(shù)值y趨向于1，故當α＜0時，若方程x^α=log_bx（b＞0，b≠1，x＞0）有兩根，則e 

1

αe

＜b＜1，即④正確．
故答案為：①②④．

點評：本題主要考查“冪指型函數(shù)”的求導和應用，考查函數(shù)的單調(diào)性和最值，以及方程的根和函數(shù)的零點的關系，考查轉化思想，屬于中檔題．