Question

已知數(shù)列{a_n}，{b_n}滿足a₁=

2

3

，a_n+1=

2an

an+2

，b₁+2b₂+2²b₃+…+2^n-1b_n=n（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{

bn

an

}的前n項(xiàng)和T_n，問是否存在正整數(shù)m、M且M-m=3，使得m＜T_n＜M對(duì)一切n∈N^*恒成立？若存在，求出m、M的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）設(shè)c_n=

(anan+2)2

an+1

，求證：c₁+c₂+c₃+…+c_n＜

25

72

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：綜合題,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）易求數(shù)列{

1

an

}是首項(xiàng)為

1

a1

=

3

2

，公差為

1

2

的等差數(shù)列，從而可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；由b₁+2b₂+2²b₃+…+2^n-1b_n=n，下推一項(xiàng)，兩者作差，即可求得{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）知，

bn

an

=

n+2

2n

，用“錯(cuò)位相減法”可求T_n，從而可作出正確判斷；
（3）利用裂項(xiàng)法可得c_n=

(anan+2)2

an+1

=

1

2

[

1

(n+2)2

-

1

(n+4)2

]，從而可證結(jié)論成立．

解答： 解：（1）由an+1=

2an

an+2

，得

1

an+1

=

an+2

2an

=

1

2

+

1

an

．
∴數(shù)列{

1

an

}是首項(xiàng)為

1

a1

=

3

2

，公差為

1

2

的等差數(shù)列．
∴

1

an

=

3

2

+(n-1)•

1

2

=

n+2

2

，即an=

2

n+2

（n∈N^*）．
∵b1+2b2+22b3+…+2n-1bn=n①，
∴b1+2b2+22b3+…+2n-2bn-1=n-1②．
①-②得2^n-1b_n=1，即bn=

1

2n-1

（n≥2）．
由①知，b₁=1也滿足上式，故bn=

1

2n-1

（n∈N^*）．
（2）由（1）知，

bn

an

=

n+2

2n

，下面用“錯(cuò)位相減法”求T_n．
Tn=

3

2

+

4

22

+

5

23

+…+

n+2

2n

③，

1

2

Tn=

3

22

+

4

23

+…+

n+1

2n

+

n+2

2n+1

④．
③-④得

1

2

Tn=

3

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-

n+2

2n+1

=2-

n+4

2n+1

，
∴Tn=4-

n+4

2n

＜4．
又

an

bn

＞0，則數(shù)列{T_n}單調(diào)遞增，故Tn≥T1=

3

2

＞1，從而1＜T_n＜4．
因此，存在正整數(shù)m=1、M=4且M-m=3，使得m＜T_n＜M對(duì)一切n∈N^*恒成立．
（3）由（1）知，cn=

(anan+2)2

an+1

=

8(n+3)

(n+2)2(n+4)2

=2•

(n+4)2-(n+2)2

(n+2)2(n+4)2

=2[

1

(n+2)2

-

1

(n+4)2

]，
∴c1+c2+c3+…+cn＜2[(

1

32

-

1

52

)+(

1

42

-

1

62

)+(

1

52

-

1

72

)+…+(

1

(n+2)2

-

1

(n+4)2

)]，
=2[

1

32

+

1

42

-

1

(n+3)2

-

1

(n+4)2

]＜2(

1

32

+

1

42

)=

25

72

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系與數(shù)列求和，著重考查錯(cuò)誤相減法與裂項(xiàng)法的綜合應(yīng)用，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與綜合運(yùn)算能力，屬于難題．