Question

如圖，已知△ABC為直角三角形，∠ACB為直角．以AC為直徑作半圓O，使半圓O所在平面⊥平面ABC，P為半圓周異于A，C的任意一點(diǎn)．
（1）證明：AP⊥平面PBC
（2）若PA=1，AC=BC=2，半圓O的弦PQ∥AC，求平面PAB與平面QCB所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由圓的性質(zhì)得AP⊥PC，由∠ACB是直角，得BC⊥AC，從而得到BC⊥平面PAC，由此能證明AP⊥平面PBC．
（2）取AB中點(diǎn)D，PQ中點(diǎn)E，連結(jié)OD，OE，以O(shè)為原點(diǎn)，OD為x軸，OC為y軸，OE為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出平面PAB與平面QCB所成銳二面角的余弦值．

解答： （1）證明：∵P為圓周上一點(diǎn)，AC為直徑，∴AP⊥PC，
∵∠ACB是直角，∴BC⊥AC，
又BC?平面ABC，半圓O所在平面PAC⊥平面ABC，
平面PAC∩平面ABC=AC，
∴BC⊥平面PAC，
又AP?平面PAC，∴AP⊥BC，
而PC，BC?平面PBC，PC∩BC=C，
∴AP⊥平面PBC．
（2）解：取AB中點(diǎn)D，PQ中點(diǎn)E，連結(jié)OD，OE，
∵O，D分別為AC，AB中點(diǎn)，∴OD∥BC，
又根據(jù)（1）知BC⊥平面PAC，∴OD⊥平面PAC，
∵半圓O的弦PQ∥AC，
根據(jù)垂徑定理得OE⊥PQ，∴OE⊥AC，
以O(shè)為原點(diǎn)，OD為x軸，OC為y軸，OE為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
∵AC=BC=2，PA=1，
∴O（0，0，0），A（0，-1，0），B（2，1，0），
C（0，1，0），D（1，0，0），P(0，-

1

2

，

3

2

)，Q（0，

1

2

，

3

2

），
與（1）同理證得AQ⊥平面QBC，
∴

AQ

=(0，

3

2

，

3

2

)是平面QBC的一個(gè)法向量，
設(shè)平面PAB的一個(gè)法向量為

n

=(x，y，z)，則

AB • n =0 AP • n =0

，
∵

AB

=(2，2，0)，

AP

=(0，

1

2

，

3

2

)，
∴

2x+2y=0 1 2 y+ 3 2 z=0

，取z=1，得

n

=(

3

，-

3

，1)，
設(shè)平面PAB與平面QBC所成銳二面角為α，
則cosα=|cos＜

AQ

，

n

＞|=|

- 3 3 2 + 3 2

3 × 7

|=

7

7

．
∴平面PAB與平面QCB所成銳二面角的余弦值為

7

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．