Question

14．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=3，a_n+1=a_n-5a_na_n+1（n∈N^*）．
（1）求正：數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差數(shù)列
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)對(duì)a_n+1=a_n-5a_na_n+1兩邊同時(shí)除以a_na_n+1整理可知$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-5，進(jìn)而可知數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以$\frac{1}{3}$為首項(xiàng)、5為公差的等差數(shù)列；
（2）通過(guò)（1）可知$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{15n-14}{3}$，進(jìn)而可得結(jié)論．

解答 （1）證明：∵a_n+1=a_n-5a_na_n+1（n∈N^*），
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{{a}_{n}-5{a}_{n}{a}_{n+1}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，即$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-5，
又∵$\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{3}$，
∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以$\frac{1}{3}$為首項(xiàng)、5為公差的等差數(shù)列；
（2）解：由（1）可知$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{3}$+5（n-1）=$\frac{15n-14}{3}$，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=$\frac{3}{15n-14}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的判定及數(shù)列的求和，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．