Question

19．已知數(shù)列{a_n}，{b_n}滿足a₁=1，a₂=2，b₁=2，且對(duì)任意的正整數(shù)i，j，k，l，當(dāng)i+j=k+l時(shí)都有a_ib_j=a_kb_l，記c_n=$\root{n}{（{a}_{1}+_{1}）（{a}_{2}+_{2}）（{a}_{3}+_{3}）…（{a}_{n}+_{n}）}$，則數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公式是$3×{2}^{\frac{n-1}{2}}$．

Answer 1

分析 由已知得a₂b_n=a₁b_n+1，a_n+1b₁=a_nb₂，從而求出a_n+b_n=3×2^n-1，由此能求出數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公式．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}，{b_n}滿足a₁=1，a₂=2，b₁=2，
且對(duì)任意的正整數(shù)i，j，k，l，當(dāng)i+j=k+l時(shí)都有a_ib_j=a_kb_l，
∴a₂b_n=a₁b_n+1，整理，得：$\frac{_{n+1}}{_{n}}$=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=2，
∴{b_n}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，∴b_n=2ⁿ．∴b₂=4，
又a_n+1b₁=a_nb₂，整理，得$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{_{2}}{_{1}}$=2，
∴{a_n}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，∴a_n=2^n-1．
∴a_n+b_n=3×2^n-1，
∴c_n=$\root{n}{（{a}_{1}+_{1}）（{a}_{2}+_{2}）（{a}_{3}+_{3}）…（{a}_{n}+_{n}）}$
=$\root{n}{{3}^{n}•[{2}^{0+1+2+3+…+（n-1）}]}$
=3×${2}^{\frac{n-1}{2}}$．
∴c_n=$3×{2}^{\frac{n-1}{2}}$．
故答案為：$3×{2}^{\frac{n-1}{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意構(gòu)造法和等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．