Question

9．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=$\frac{1}{2}$，a_n=a₁+2a₂+3a₃+…+（n-1）a_n-1（n≥2），則{a_n}的通項(xiàng)a_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}，}&{n=1}\\{\frac{n!}{4}，}&{n≥2}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 通過a_n=a₁+2a₂+3a₃+…+（n-1）a_n-1（n≥2）與a_n+1=a₁+2a₂+3a₃+…+（n-1）a_n-1+na_n作差、整理可知a_n+1=（n+1）a_n，利用累乘法計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：∵a_n=a₁+2a₂+3a₃+…+（n-1）a_n-1（n≥2），
∴a_n+1=a₁+2a₂+3a₃+…+（n-1）a_n-1+na_n，
兩式相減得：a_n+1-a_n=na_n，即a_n+1=（n+1）a_n，
又∵a₂=a₁=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=n，$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$=n-1，…，$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$=3，$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=1，
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{2}$n!（n≥2），
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}，}&{n=1}\\{\frac{n!}{4}，}&{n≥2}\end{array}\right.$，
故答案為：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}，}&{n=1}\\{\frac{n!}{4}，}&{n≥2}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，利用累乘法是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．