Question

（本小題滿分12分）已知平面上的動點(diǎn)及兩定點(diǎn)、，直線、的斜率分別為、，且，設(shè)動點(diǎn)的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）過點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn)M、N，過點(diǎn)作軸，交曲線于點(diǎn).求證：直線過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo).

Answer 1

（1）由題知，且，，則.

整理得曲線的方程為 5分

（2）設(shè)直線與軸交于，

則直線的方程為，記，，由對稱性知，

由，消去得， 7分

所以，且，， 9分

由三點(diǎn)共線知，，即，所以，

整理得， 10分

所以，，即，解得，

所以直線過定點(diǎn) 12分

【解析】

試題分析（1）由題知x≠±2，且，，由直接法求出曲線C的方程．

（2）設(shè)NQ與x軸交于D（t，0），則直線NQ的方程為x=my+t（m≠0），記N（x1，y1），Q（x2，y2），由對稱性知M（x2，﹣y2），由，得（3m2+4）y2+6mty+3t2﹣12=0，由此利用根的判別式，韋達(dá)定理、三點(diǎn)共線，結(jié)合已知條件能證明直線NQ過定點(diǎn)D（1，0）．

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題．