【題目】已知橢圓（）的一個焦點與拋物線的焦點重合，截拋物線的準線所得弦長為1.

（1）求橢圓的方程；

（2）如圖所示，，，是橢圓的頂點，是橢圓上除頂點外的任意一點，直線交軸于點，直線交于點，設(shè)的斜率為，的斜率為.證明：為定值.

【答案】（1）；（2）詳見解析.

【解析】

（1）由橢圓與拋物線的焦點相同可知橢圓的焦點為,即,且拋物線的準線為,再由弦長為1可得橢圓與準線的一個交點為,即可代入橢圓方程中,進而求解即可；

（2）由（1）可得點的坐標,設(shè)直線的方程為（,）,與橢圓方程聯(lián)立可得點的坐標,由直線的方程為與直線的方程聯(lián)立可得點的坐標,再根據(jù)三點共線可得點的坐標,即可求得的斜率,進而得證.

（1）解:由題,橢圓焦點即為拋物線的焦點為,準線方程為,①,

又橢圓截拋物線的準線所得弦長為1,

∴可得一個交點為,②,由①②可得,

從而,

∴該橢圓的方程為

（2）證明:由（1）可得,且點不為橢圓頂點,

則可設(shè)直線的方程為（,）,③

③代入,解得,

因為直線的方程為④

③與④聯(lián)立解得,

由,,三點共線知,即,解得,

所以的斜率為,

則（定值）.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖有一景區(qū)的平面圖是一半圓形，其中直徑長為兩點在半圓弧上滿足，設(shè)，現(xiàn)要在景區(qū)內(nèi)鋪設(shè)一條觀光通道，由和 組成.

（1）用表示觀光通道的長，并求觀光通道的最大值；

（2）現(xiàn)要在景區(qū)內(nèi)綠化，其中在中種植鮮花，在中種植果樹，在扇形內(nèi)種植草坪，已知單位面積內(nèi)種植鮮花和種植果樹的利潤均是種植草坪利潤的 倍，則當為何值時總利潤最大？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】對于定義域為D的函數(shù)y=f（x），如果存在區(qū)間[m，n]D，同時滿足：

①f（x）在[m，n]內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；

②當定義域是[m，n]時，f（x）的值域也是[m，n]．則稱[m，n]是該函數(shù)的“和諧區(qū)間”．

（1）證明：[0，1]是函數(shù)y=f（x）=x2的一個“和諧區(qū)間”．

（2）求證：函數(shù)不存在“和諧區(qū)間”．

（3）已知：函數(shù)（a∈R，a≠0）有“和諧區(qū)間”[m，n]，當a變化時，求出n﹣m的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知（m，n為常數(shù)），在處的切線方程為．

（Ⅰ）求的解析式并寫出定義域；

（Ⅱ）若，使得對上恒有成立，求實數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）若有兩個不同的零點，求證：.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】直線l與兩直線y＝1和x－y－7＝0分別交于A，B兩點，若線段AB的中點為M(1，－1)，則直線l的斜率為(　　)

A. B. C. D.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在直角梯形中，，，、分別是、的中點，將三角形沿折起，則下列說法正確的是______________.

（1）不論折至何位置（不在平面內(nèi)），都有平面；

（2）不論折至何位置，都有；

（3）不論折至何位置（不在平面內(nèi)），都有；

（4）在折起過程中，一定存在某個位置，使.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）當時，求函數(shù)在點處的切線方程；

（2）若函數(shù)有兩個不同極值點，求實數(shù)的取值范圍；

（3）當時，求證：對任意，恒成立.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖1，在等腰梯形中，分別為的中點.現(xiàn)分別沿將和折起，使得平面平面，平面平面，連接，如圖2．

（1）求證：平面平面；

（2）求多面體的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設(shè)數(shù)集由實數(shù)構(gòu)成，且滿足：若（且），則.

（1）若，試證明中還有另外兩個元素；

（2）集合是否為雙元素集合，并說明理由；

（3）若中元素個數(shù)不超過8個，所有元素的和為，且中有一個元素的平方等于所有元素的積，求集合.

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