Question

【題目】已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx﹣3在x=1處取得極值，且在（0，﹣3）點處的切線與直線2x+y=0平行． （Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函數(shù)g（x）=xf（x）+4x的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由f（x）=ax2+bx﹣3，可得f′（x）=2ax+b． 由題設(shè)可得 即
解得a=1，b=﹣2．
所以f（x）=x2﹣2x﹣3．
（Ⅱ）由題意得g（x）=xf（x）+4x=x3﹣2x2+x，
所以g′（x）=3x2﹣4x+1=（3x﹣1）（x﹣1）．
令g′（x）=0，得 ，x2=1．
所以函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為 ，（1，+∞）
【解析】（Ⅰ）先對函數(shù)f（x）求導，令f'（1）=0，f'（0）=﹣2即可得到答案．（Ⅱ）將函數(shù)f（x）的解析式代入求出函數(shù)g（x）的解析式后求導，令導函數(shù)大于0求出x的范圍即可．
【考點精析】利用導數(shù)的幾何意義和利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知通過圖像,我們可以看出當點趨近于時，直線與曲線相切．容易知道，割線的斜率是，當點趨近于時，函數(shù)在處的導數(shù)就是切線PT的斜率k，即；一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減．