3．已知函數(shù)f（x）=x3+（1-a）x2-a（a+2）x+b（a，b∈R），
（1）若函數(shù)f（x）的圖象過原點(diǎn)，且在原點(diǎn)處的切線的斜率為-3，求a，b的值；
（2）若曲線f（x）存在兩條垂直于直線x=-1的切線，求a的取值范圍．

分析 （1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由函數(shù)f（x）的圖象過原點(diǎn)，且在原點(diǎn)處的切線斜率為-3得到方程f（0）=0，f′（0）=-3，解方程組求得a，b的值；
（2）把曲線y=f（x）存在兩條垂直于x=-1的切線轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的方程f′（x）=3x2+2（1-a）x-a（a+2）=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，然后尤其判別式大于0求得a的范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）的圖象過原點(diǎn)，即為f（0）=0，即有b=0，
又f（x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=3x2+2（1-a）x-a（a+2），
由在原點(diǎn)處的切線的斜率為-3，可得-a（a+2）=-3，
解得a=-3或1，
即有a=-3，b=0或a=1，b=0；
（2）∵曲線f（x）存在兩條垂直于直線x=-1的切線，
∴關(guān)于x的方程f′（x）=3x2+2（1-a）x-a（a+2）=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴△=4（1-a）2+12a（a+2）＞0，即4a2+4a+1＞0，
∴a≠-$\frac{1}{2}$．
∴a的取值范圍是（-∞，-$\frac{1}{2}$）∪（-$\frac{1}{2}$，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，著重考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．

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13．已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c和一次函數(shù)g（x）=-bx，其中a，b，c∈R且滿足a＞b＞c，f（1）=0．
（Ⅰ）證明：函數(shù)f（x）與g（x）的圖象交于不同的兩點(diǎn)；
（Ⅱ）若函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）在[2，3]上的最小值為9，最大值為21，試求a，b的值．

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14．底面邊長為2，側(cè)棱長為$\sqrt{3}$的正四棱錐的體積為$\frac{4}{3}$．

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11．已知集合A={1，a，a-1}，若-2∈A，則實(shí)數(shù)a的值為（　　）
A．-2B．-1C．-1或-2D．-2或-3

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18．?dāng)?shù)列{an}中a1=2，an+1=2an，Sn為{an}的前n項(xiàng)和，若Sn=126，則n=（　�。�
A．6B．4C．7D．8

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8．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F，A為短軸的一個(gè)端點(diǎn)，且|OA|=|OF|，△AOF的面積為1（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（1）求橢圓的方程；
（2）若C，D分別是橢圓長軸的左、右端點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M滿足MD⊥CD，連接CM，交橢圓于點(diǎn)P，證明：$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{OP}$為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

15．“開門大吉”是某電視臺推出的游戲益智節(jié)目．選手面對1-4號4扇大門，依次按響門上的門鈴，門鈴會(huì)播放一段音樂（將一首經(jīng)典流行歌曲以單音色旋律的方式演繹），選手需正確回答出這首歌的名字，方可獲得該扇門對應(yīng)的家庭夢想基金．正確回答每一扇門后，選手可自由選擇帶著獎(jiǎng)金離開比賽，還可繼續(xù)挑戰(zhàn)后面的門以獲得更多獎(jiǎng)金（獎(jiǎng)金金額累加），但是一旦回答錯(cuò)誤，獎(jiǎng)金將清零，選手也會(huì)離開比賽．在一次場外調(diào)查中，發(fā)現(xiàn)參加比賽的選手多數(shù)分為兩個(gè)年齡段：20～30；30～40（單位：歲），其猜對歌曲名稱與否人數(shù)如圖所示．
（1）寫出2×2列聯(lián)表；判斷是否有90%的把握認(rèn)為猜對歌曲名稱與否與年齡有關(guān)？說明你的理由．（下面的臨界值表供參考）
P（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.0050.001
k02.7063.8415.0246.6357.87910.828
（參考公式：${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d）
（理）（2）若某選手能正確回答第一、二、三、四扇門的概率分別為$\frac{4}{5}$，$\frac{3}{4}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{3}$，正確回答一個(gè)問題后，選擇繼續(xù)回答下一個(gè)問題的概率是$\frac{1}{2}$，且各個(gè)問題回答正確與否互不影響．設(shè)該選手所獲夢想基金總數(shù)為ξ，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．
第一扇門第二扇門第三扇門第四扇門
1000200030005000
每扇門對應(yīng)的夢想基金：（單位：元）
（文）（2）現(xiàn)計(jì)劃在這次場外調(diào)查中按年齡段用分層抽樣的方法選取6名選手，并抽取3名幸運(yùn)選手，求3名幸運(yùn)選手中至少有一人在20～30歲之間的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

12．過點(diǎn)P的直線l在x軸上截距為1，點(diǎn)P為直線x-2y-2=0與x+y+1=0的交點(diǎn)．
（1）求直線l的方程；
（2）若l與圓C：x2+y2-2y-3=0交于A、B兩點(diǎn)，求△ABC面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

13．已知A={x|y=$\sqrt{x-3}$-$\frac{1}{\sqrt{7-x}}$}，B={y|y=-x2+2x+8}，C={x∈R|x＜a或x＞a+1}
（1）求A，（∁RA）∩B；
（2）若A∪C=R，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（3）若A∪C=C，求a的取值范圍．

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