Question

8．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F，A為短軸的一個(gè)端點(diǎn)，且|OA|=|OF|，△AOF的面積為1（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（1）求橢圓的方程；
（2）若C，D分別是橢圓長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M滿(mǎn)足MD⊥CD，連接CM，交橢圓于點(diǎn)P，證明：$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{OP}$為定值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得b=c，$\frac{1}{2}$bc=1，解方程可得b，c，由a，b，c的關(guān)系，解得a=2，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）設(shè)出直線MC的方程，代入橢圓方程，求得P的坐標(biāo)，M的坐標(biāo)，由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示計(jì)算即可得到定值4．

解答 解：（1）由題意可得b=c，$\frac{1}{2}$bc=1，
解得b=c=$\sqrt{2}$，a=$\sqrt{^{2}+{c}^{2}}$=2，
即有橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（2）由題意直線MC的斜率存在，
設(shè)其方程為y=k（x+2），
代入橢圓方程x²+2y²=4，得
（1+2k²）x²+8k²x+8k²-4=0，
由x_P（-2）=$\frac{8{k}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$，
解得x_P=-$\frac{4{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，y_P=$\frac{4k}{1+2{k}^{2}}$，
令x=2，解得y_M=4k，即M（2，4k），
所以$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{OP}$=2•（-$\frac{4{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$）+4k•$\frac{4k}{1+2{k}^{2}}$=4為定值．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用待定系數(shù)法，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，求得交點(diǎn)，同時(shí)考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，屬于中檔題．