Question

直線l過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)，斜率為

2

，若l與雙曲線的兩個(gè)交點(diǎn)分別在其兩支上，則雙曲線的離心率的取值范圍為（　�。�

• A、[

  2

  ，+∞）
• B、（2，+∞）
• C、[

  3

  ，+∞）
• D、（

  3

  ，+∞）

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：設(shè)雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1，右焦點(diǎn)坐標(biāo)F（c，0），則l的方程為y=

2

（x-c），代入橢圓方程得（b²-2a²）x²+4a²cx-（2a²c²+a²b²）=0，l與雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別在雙曲線的左右兩支上，等價(jià)于該方程有一正一負(fù)兩個(gè)實(shí)數(shù)解，由此能求出e的取值范圍．

解答： 解：設(shè)雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1，右焦點(diǎn)坐標(biāo)F（c，0），
則l的方程為y=

2

（x-c），
把y=

2

（x-c）代入

x2

a2

-

y2

b2

=1，
整理得（b²-2a²）x²+4a²cx-（2a²c²+a²b²）=0，
l與雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別在雙曲線的左右兩支上，
等價(jià)于該方程有一正一負(fù)兩個(gè)實(shí)數(shù)解，
即x₁x₂=-

2a2c2+a2b2

b2-2a2

≤0，
即b²-2a²＞0，即b²＞2a²，
∴e²=

c2

a2

=1+

b2

a2

＞3，
∴e∈（

3

，+∞）．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的離心率的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意韋達(dá)定理的合理運(yùn)用．