Question

已知點(diǎn)F（-c，0）（c＞0）是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的左焦點(diǎn)，離心率為e，過(guò)F且平行于雙曲線漸近線的直線與圓x²+y²=c²交于點(diǎn)P，且點(diǎn)P在拋物線y²=4cx上，則e²=（　�。�

• A、

  3+ 5

  2

• B、

  5

• C、

  5 -1

  2

• D、

  1+ 5

  2

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：利用拋物線的性質(zhì)、雙曲線的漸近線、直線平行的性質(zhì)、圓的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)即可得出．

解答： 解：如圖，設(shè)拋物線y²=4cx的準(zhǔn)線為l，作PQ⊥l于Q，
設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F′，P（x，y）．
由題意可知FF′為圓x²+y²=c²的直徑，
∴PF′⊥PF，且tan∠PFF′=

b

a

，|FF′|=2c，
滿足

y2=4cx① x2+y2=c2② y x+c = b a ③

，
將①代入②得x²+4cx-c²=0，
則x=-2c±

5

c，
即x=（

5

-2）c，（負(fù)值舍去）
代入③，即y=

bc( 5 -1)

a

，再將y代入①得，

b2

a2

=

4( 5 -2)

( 5 -1)2

=e²-1
即e²=1+

4 5 -8

6-2 5

=

5 +1

2

．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的性質(zhì)，掌握拋物線的性質(zhì)、雙曲線的漸近線、直線平行的性質(zhì)、圓的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．